Question

14．如圖，在?ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于點(diǎn)E，DF平分∠ADC，交BC于點(diǎn)F，CE與DF交于點(diǎn)P，連接EF，BP．
（1）求證：四邊形CDEF是菱形；
（2）若AB=2，BC=3，∠A=120°，求BP的值．

Answer 1

分析 （1）利用平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義可求得CF=CD=DE，可證得結(jié)論；
（2）過(guò)P作PG⊥BC于G，在Rt△PGC中可求得PG和CG的長(zhǎng)，則可求得BG的長(zhǎng)，在Rt△BPG中，由勾股定理可求得BP的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EDF=∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠EDF=∠CDF，
∴∠DFC=∠CDF，
∴CD=CF，
∴四邊形CDEF為平行四邊形，
同理可得CD=DE，
∴四邊形CDEF為菱形；
（2）解：
如圖，過(guò)P作PG⊥BC于G，

∵AB=2，BC=3，∠A=120°，且四邊形CDEF為菱形，
∴CF=EF=CD=AB=2，∠ECF=$\frac{1}{2}$∠BCD=$\frac{1}{2}$∠A=60°，
∴△CEF為等邊三角形，
∴CE=CF=2，
∴PC=$\frac{1}{2}$CE=1，
∴CG=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$，PG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BG=BC-CG=3-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
在Rt△BPG中，由勾股定理可得BP=$\sqrt{B{G}^{2}+P{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
即BP的值為$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及菱形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵，在求BP的值時(shí)注意構(gòu)造直角三角形．