Question

【題目】拋物線y＝﹣x2與直線y＝kx﹣2k+3交于A，B兩點(diǎn)，若∠AOB＝90°，求k的值．

Answer 1

【答案】

【解析】

將y＝kx﹣2k+3代入y＝x2，得x2﹣kx+2k﹣3＝0，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及根與系數(shù)的關(guān)系得出y1＝x12，y2＝x22，x1x2＝4k﹣6，那么y1y2＝k2﹣3k+，當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)，過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，證明△AOM∽△OBN，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出y1y2＝﹣x1x2，依此列出關(guān)于k的方程，求出k的值即可．

解：將y＝kx﹣2k+3代入y＝x2，得x2﹣kx+2k﹣3＝0，

設(shè)拋物線y＝﹣x2與直線y＝kx﹣2k+3交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，

∴y1＝x12，y2＝x22，x1x2＝4k﹣6，

∴y1y2＝（x12）（x22）＝（x1x2）2＝（4k﹣6）2＝4k2﹣6k+9

當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)，如圖：

，

過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N．

在△AOM與△OBN中，

，

∴△AOM∽△OBN，

∴，即，

∴y1y2＝﹣x1x2，

∴4k2﹣6k+9＝﹣4k+6，

∵k＞0，

∴k＝，