Question

已知圓P的圓心在反比例函數(shù)圖象上，并與x軸相交于A、B兩點．且始終與y軸相切于定點C(0，1)．

(1)求經(jīng)過A、B、C三點的二次函數(shù)圖象的解析式；

(2)若二次函數(shù)圖象的頂點為D，問當(dāng)k為何值時，四邊形ADBP為菱形．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)連結(jié)PC、PA、PB，過P點作PH⊥x軸，垂足為H　　1分 　　∵⊙P與y軸相切于點C(0，1)， 　　∴PC⊥y軸． 　　∵P點在反比例函數(shù)的圖象上， 　　∴P點坐標(biāo)為(k，1)　　2分 　　∴PA＝PC＝k． 　　在Rt△APH中，AH＝＝， 　　∴OA＝OH－AH＝k－． 　　∴A(k－，0)　　3分 　　∵由⊙P交x軸于A、B兩點，且PH⊥AB，由垂徑定理可知，PH垂直平分AB． 　　∴OB＝OA＋2AH＝k－＋2＝k＋， 　　∴B(k＋，0)　　4分 　　故過A、B兩點的拋物線的對稱軸為PH所在的直線解析式為x＝k． 　　可設(shè)該拋物線解析式為y＝a＋h　　5分 　　又拋物線過C(0，1)，B(k＋，0)，得： 　　 　　解得a＝1，h＝1－k2　　7分 　　∴拋物線解析式為y＝＋1－k2　　8分 　　(2)由(1)知拋物線頂點D坐標(biāo)為(k，1－k2) 　　∴DH＝k2－1． 　　若四邊形ADBP為菱形．則必有PH＝DH　　10分 　　∵PH＝1，∴k2－1＝1． 　　又∵k＞1，∴k＝　　11分 　　∴當(dāng)k取時，PD與AB互相垂直平分，則四邊形ADBP為菱形　　12分