Question

△ABC為⊙O的內接三角形，AD為BC邊的高，AE為⊙O的直徑．
（1）求證：∠BAE=∠DAC；
（2）若BD=8，CD=3，AD=6．求AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直徑所對的圓周角是直角，可得∠ABE=90°，又根據同弧所對的圓周角相等，可得∠C=∠E，即可證得△ABE∽△ADC，即可證得∠BAE=∠DAC；
（2）根據相似三角形的對應邊成比例即可求得，注意勾股定理的應用．
解答：（1）證明：連接BE，
∵AE為⊙O的直徑，
∴∠ABE=90°，
∵AD為BC邊的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠C=∠E，
∴△ABE∽△ADC，
∴∠BAE=∠DAC；

（2）解：∵△ABE∽△ADC，
∴AB：AD=AE：AC，
∵BD=8，CD=3，AD=6，
∴AB=10，AC=3，
∴AE=5．
點評：此題考查了圓周角的性質（直徑所對的圓周角是直角；同弧所對的圓周角相等）與相似三角形的判定與性質．注意圓中常見輔助線的作法：見直徑構造直徑所對的圓周角．