Question

4．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=ax²+6ax-4與x軸的負半軸相交于點A，與x軸的正半軸相交于點B，與y軸的負半軸相交于點C，且AB=10，一次函數(shù)y=x+b與拋物線相交于點E和點F（點E在點F左邊），與拋物線的對稱軸相交于點G．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D（n，n+2）是x軸下方拋物線上一點，連接DG和DE，當b=8時，求∠EDG的度數(shù)；
（3）當b為何值時，在拋物線上有且只有兩個點P，使△EPG是等腰直角三角形，連接CF，并求此時∠EFC的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB=10可得出B與A的橫坐標之差為10，由拋物線的解析式可算出對稱軸為-3，也就得出A與B的橫坐標之和為-6，從而算出A、B兩點坐標，解析式也就自然確定了；
（2）先求出D、G坐標，過點A作AH⊥DG于H，連接AD．，求出AH，DH，根據(jù)tan∠ADG=$\frac{AH}{DH}$，即可解決問題．
（3）如圖2中，設點E關于對稱軸的對稱點為P′，根據(jù)對稱性可知△EGP′是等腰直角三角形，當E是等腰直角三角形△EPG的直角頂點時，在拋物線上有且只有兩個點P，使△EPG是等腰直角三角形，此時點P只能是拋物線頂點，求出點E、F坐標，作CH⊥AF于H，求出直線CH解析式，利用方程組求出點H坐標，求出FH，CH即可解決問題．

解答 解：（1）設A、B兩點的坐標分別為（x₁，0），（x₂，0），
∵AB=10，
∴x₂-x₁=10，
∵拋物線解析式為y=ax²+6ax-4，
∴拋物線的對稱軸為x=-$\frac{6a}{2a}$=-3，
即x₁+x₂=-6，
∴x₁=-8，x₂=2，
即點A（-8，0），點B（2，0）．
將點B（2，0）代入拋物線解析式，得
0=4a+12a-4，解得：a=$\frac{1}{4}$．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x-4．
（2）依照題意畫出圖形，如圖1所示．

當b=8時，一次函數(shù)解析式為y=x+8，
令y=0，則有x+8=0，解得：x=-8，
此時點E與點A重合，坐標為（-8，0）；
令x=-3，則y=-3+8=5，
即G點坐標為（-3，5）．
∵點D（n，n+2）是x軸下方拋物線上一點，
∴n+2=$\frac{1}{4}{n}^{2}$+$\frac{3}{2}$n-4，且n+2＜0，
解得：n=-6，或n=4（舍去），
∴點D的坐標為（-6，-4），
∴直線DG的解析式為y=3x+14，
過點A作AH⊥DG于H，連接AD．
直線AH解析式為y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{8}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+14}\\{y=-\frac{1}{3}x-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴點H坐標為（-5，-1），
∴AH=$\sqrt{（-8+5）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
DH=$\sqrt{（-6+5）^{2}+（-4+1）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
在RT△ADH中，∵∠AHD=90°，
∴tan∠ADG=$\frac{AH}{DH}$=1，
∴∠ADG=45°．

（3）如圖2中，設點E關于對稱軸的對稱點為P′，根據(jù)對稱性可知△EGP′是等腰直角三角形，

∴當E是等腰直角三角形△EPG的直角頂點時，在拋物線上有且只有兩個點P，使△EPG是等腰直角三角形，
此時點P只能是拋物線頂點，因為此時∠AGP=∠APG=45°，
∴點P坐標（-3，-$\frac{25}{4}$），
過點P垂直GE的直線解析式為y=-x-$\frac{37}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-\frac{37}{4}}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x-4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-\frac{25}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-7}\\{y=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴點E坐標為（-7，-$\frac{9}{4}$），代入y=x+b得到b=$\frac{19}{4}$．
當點P為等腰直角三角形△EPG的直角頂點時，由圖象可知點P不存在，
∴b=$\frac{19}{4}$時，在拋物線上有且只有兩個點P，使△EPG是等腰直角三角形，
作CH⊥AF于H，則直線CH解析式為y=-x-4，直線EF為y=x+$\frac{19}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-4}\\{y=x+\frac{19}{4}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{35}{8}}\\{y=\frac{3}{8}}\end{array}\right.$．
∴點H坐標（-$\frac{35}{8}$，$\frac{3}{8}$），
∴HC=$\frac{35}{8}$$\sqrt{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+\frac{19}{4}}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-7}\\{y=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=\frac{39}{4}}\end{array}\right.$，
∴點F坐標（5，$\frac{39}{4}$），
∴FH=$\frac{75}{8}$$\sqrt{2}$，
∴tan∠EFC=$\frac{CH}{FH}$=$\frac{7}{15}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、銳角三角函數(shù)、待定系數(shù)法等知識，解題的關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學會構(gòu)建函數(shù)，利用方程組求兩個函數(shù)交點坐標，學會常用輔助線的添加方法，屬于中考壓軸題．