Question

已知：等腰三角形ABC的三邊a，b，c中c=3，且a，b是方程x²-（2k+1）x+2k=0的兩個(gè)根，求k的值和這個(gè)三角形的周長．

Answer 1

解：（1）若c為底邊，則a=b，且均為一元二次方程的實(shí)數(shù)根，故一元二次方程x²-（2k+1）x+2k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
由b²-4ac=（2k+1）²-4•2k=0，得：k₁=k₂=，
即a=b=1（不合，舍去） a=b=1，c=3不能構(gòu)成三角形；

（2）若c為腰，則a、b中必有一邊與c相同，
不妨設(shè)a=c=3，則3是方程x²-（2k+1）x+2k=0的一根，
∴9-3（2k+1）+2k=0，∴k=，
∴原方程為x²-4x+3=0，
∴x₁=3，x₂=1，
∴b=1，
a=c=3，b=1能構(gòu)成三角形，
∴△ABC的周長為3+3+1=7．
分析：等腰三角形ABC中c可能是底邊，也可能是腰，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．①當(dāng)c是腰時(shí)，則方程有一個(gè)根是3，代入即可求得k的值，從而求解；②當(dāng)c是底邊時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系，從而求得其周長．
點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系定理．難度中等．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，將c邊進(jìn)行分類是解題的關(guān)鍵．