Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC＝PC，∠COB2＝∠PCB．

1.求證：PC是⊙O的切線

2.求證：BC＝AB；

3.點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若AB＝4，求MN ·MC的值．

 

Answer 1

 

1.解：（1）∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO

又∵∠COB＝2∠A, ∴∠COB＝2∠PCB，

∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．(1分)

又∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACO+∠OCB＝90°

∴∠PCB+∠OCB＝90°（２分），

即OC⊥CP，

而OC是⊙O的半徑，

∴PC是⊙O的切線．  （3分）

2.∵AC＝PC,∠A＝∠P，

∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P，（４分）

又∵∠COB＝∠A+∠ACO, ∠CBO＝∠P+∠PCB

∴∠COB＝∠CBO（５分）, ∴BC＝OC, ∴BC＝AB（6分）

3.8

（3）8

解析:

（3）連接MA、MB

       點M是AB的中點，AM＝BM，

∴∠ACM＝∠BCM（7分）

而∠ACM＝∠ABM, ∴∠BCM＝∠ABM,而∠BMN＝∠BMC

∴△MBN～△MCB,

∴MN·MC＝BM.BM（8分）

又∵AB是⊙O的直徑，AM＝BM

∴∠AMB＝90°，AM＝BM

∵AB＝4,BM＝（9分）

∴MN·MC＝BM²＝8（10分）