Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中點(diǎn)。

（1）求證：⊿MDC是等邊三角形；
（2）將⊿MDC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，當(dāng)MD（即MD′）與AB交于一點(diǎn)E，MC即MC′）同時(shí)與AD交于一點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)和點(diǎn)A構(gòu)成⊿AEF，試探究⊿AEF的周長(zhǎng)是否存在最小值。如果不存在，請(qǐng)說明理由；如果存在，請(qǐng)計(jì)算出⊿AEF周長(zhǎng)的最小值。

Answer 1

解：（1）證明：過點(diǎn)D作DP⊥BC，于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AQ⊥BC于點(diǎn)Q， ∵∠C=∠B=60°， ∴CP=BQ=AB，CP+BQ=AB， 又∵ADPQ是矩形，AD=PQ，故BC=2AD， 由已知，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，BM=CM=AD=AB=CD， 即⊿MDC中，CM=CD，∠C=60°，故⊿MDC是等邊三角形； （2）⊿AEF的周長(zhǎng)存在最小值，理由如下： 連接AM，由（1）平行四邊形ABMD是菱形，⊿MAB，⊿MAD和⊿MC′D′是等邊三角形， ∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°， ∴∠BME=∠AMF， 在⊿BME與⊿AMF中，BM=AM，∠EBM=∠FAM=60°， ∴⊿BME≌⊿AMF（ASA）， ∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB， ∵∠EMF=∠DMC=60°，故⊿EMF是等邊三角形，EF=MF， ∵M(jìn)F的最小值為點(diǎn)M到AD的距離，即EF的最小值是， ⊿AEF的周長(zhǎng)=AE+AF+EF=AB+EF， ⊿AEF的周長(zhǎng)的最小值為2+。