Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象過點A（2，4），頂點的橫坐標(biāo)為，它的圖象與x軸交于兩點B（x₁，0）、C（x₂，0），與y軸交于點D，且x₁²+x₂²=13．試問：y軸上是否存在點P，使得△POB與△DOC相似（O為坐標(biāo)原點）？若存在，請求出過P、B兩點直線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：∵y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點B（x₁，0），C（x₂，0），
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=；
又∵x₁²+x₂²=13，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=13，
∴（-）²-2•=13，①
4a+2b+c=4，②
-=．③
解由①、②、③組成的方程組，
得a=-1，b=1，c=6；
∴y=-x²+x+6；
與x軸交點坐標(biāo)為（-2，0），（3，0），
與y軸交點D坐標(biāo)為（0，6）；
設(shè)y軸上存在點P，使得△POB∽△DOC，則
（1）當(dāng)B（-2，0），C（3，0），D（0，6）時，
有，OB=2，OC=3，OD=6；
∴OP=4；即點P坐標(biāo)為（0，4）或（0，-4）；
當(dāng)P坐標(biāo)為（0，4）時，可設(shè)過P、B兩點直線的解析式為y=kx+4，
有0=2k+4，得k=2；
∴y=2x+4；（4.5分）
當(dāng)P點坐標(biāo)為（0，-4）時，可設(shè)過P、B兩點直線的解析式為y=kx-4；
有0=-2k-4，
得k=-2；
∴y=-2x-4
或，OB=2，OD=6，OC=3
∴OP=1，這時P點坐標(biāo)為（0，1）或（0，-1）；
當(dāng)P點坐標(biāo)為（0，1）時，可設(shè)過P、B兩點直線的解析式為y=kx+1；
有0=-2k+1，
得k=．
∴y=x+1（5.5分）
當(dāng)P點坐標(biāo)為（0，-1）時，可設(shè)過P、B兩點直線的解析式為y=kx-1；
有0=-2k-1，
得k=-；
∴y=-x-1；
（2）當(dāng)B（3，0），C（-2，0），D（0，6）時，同理可得
y=-3x+9（6.5分）
或y=3x-9
或y=-x+1（7.5）
或y=x-1．
分析：需注意的是，由于本題沒有明確B、C的位置關(guān)系，所以要分類討論；由于B、C是拋物線與x軸的交點；根據(jù)韋達(dá)定理即可求出兩個橫坐標(biāo)的和與積，進(jìn)而可根據(jù)x₁²+x₂²=13求出第一個關(guān)于拋物線系數(shù)的等量關(guān)系式；將A點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可得到第二個關(guān)于拋物線系數(shù)的等量關(guān)系式；再聯(lián)立拋物線的對稱軸方程，即可求出待定系數(shù)的值，由此可確定拋物線的解析式，進(jìn)而可求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)；假設(shè)拋物線上存在符合條件的P點，使得△POB與△DOC相似，由于這兩個三角形中，∠POB=∠DOC=90°，所以要考慮到兩種情況：①△POB∽△DOC，②△POB∽△COD；根據(jù)不同的相似三角形所得到的不同比例線段，可求出P點的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出直線BP的解析式．
點評：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識點，要注意的是在遇到相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角不明確的情況下，一定要分類討論，以免漏解．