Question

如圖所示,,,,點是以為直徑的半圓上一動點, 交直線于點,設(shè).

(1)當時,求弧BD的長；

(2)當時,求線段的長；

(3)若要使點在線段的延長線上,則的取值范圍是_________.(直接寫出答案)

 

 

Answer 1

(1) 的長為： π；

（2）BE=；

（3）60°＜α＜90°．

【解析】

試題分析：（1）首先連接OD，由圓周角定理，可求得∠DOB的度數(shù)，又由⊙O的直徑為2，即可求得其半徑，然后由弧長公式，即可求得答案；

（2）首先證得△ACD∽△BED，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得，繼而求得答案；

（3）首先求得A與E重合時α的度數(shù)，則可求得點E在線段BA的延長線上時，α的取值范圍．

試題解析：（1）連接OD，

∵α=18°，

∴∠DOB=2α=36°，

∵AB=2，

∴⊙O的半徑為：，

∴的長為：=π；

（2）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵α=30°，

∴∠B=60°，

∵AC⊥AB，DE⊥CD，

∴∠CAB=∠CDE=90°，

∴∠CAD=90°﹣α=60°，

∴∠CAD=∠B，

∵∠CDA+∠ADE=∠ADE+∠BDE=90°，

∴∠CDA=∠BDE，

∴△ACD∽△BED，

∴，

∵AB=2，α=30°，

∴BD=AB=，

∴AD==3，

∴，

∴BE=；

經(jīng)檢驗，BE=是原分式方程的解．

（3）如圖，當E與A重合時，

∵AB是直徑，AD⊥CD，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴C，D，B共線，

∵AC⊥AB，

∴在Rt△ABC中，AB=2，AC=2，

∴tan∠ABC==，

∴∠ABC=30°，

∴α=∠DAB=90°﹣∠ABC=60°，

當E′在BA的延長線上時，如圖，可得∠D′AB＞∠DAB＞60°，

∵0°＜α＜90°，

∴α的取值范圍是：60°＜α＜90°．

故答案為：60°＜α＜90°．

考點：1.相似三角形的判定與性質(zhì)2.圓周角定理3.弧長的計算4.解直角三角形．