Question

5．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，B在x軸上，四邊形OACB為平行四邊形，且∠AOB=60°，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限內過點A，且與BC交于點F．當F為BC的中點，且S_△AOF=24$\sqrt{3}$時，點C的坐標為（10$\sqrt{2}$，4$\sqrt{6}$）．

Answer 1

分析 先設OA=a（a＞0），過點F作FM⊥x軸于M，根據(jù)∠AOB=60°，得出AHAH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，OH=$\frac{1}{2}$a，求出S_△AOH的值，根據(jù)S_△AOF=24$\sqrt{3}$，求出平行四邊形AOBC的面積，根據(jù)F為BC的中點，求出S_△OBF=12$\sqrt{3}$，最后根據(jù)S_{平行四邊形AOBC}=OB•AH，得出OB=AC=12，即可求出點C的坐標；

解答 解：設OA=a（a＞0），過點F作FM⊥x軸于M，
∵∠AOB=60°，
∴AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，OH=$\frac{1}{2}$a，
∴S_△AOH=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$a•$\frac{1}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{8}$a²，
∵S_△AOF=24$\sqrt{3}$，
∴S_{平行四邊形AOBC}=48$\sqrt{3}$，
∵F為BC的中點，
∴S_△OBF=12$\sqrt{3}$，
∵BF=$\frac{1}{2}$a，∠FBM=∠AOB，
∴FM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，BM=$\frac{1}{4}$a，
∴S_△BMF=$\frac{1}{2}$BM•FM=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{1}{4}$a=$\frac{\sqrt{3}}{32}$a²，
∴S_△FOM=S_△OBF+S_△BMF=12$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{32}$a²，
∵點A，F(xiàn)都在y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴S_△AOH=$\frac{1}{2}$k，
∴$\frac{\sqrt{3}}{8}$a²=12$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{32}$a²，
∴a=8$\sqrt{2}$，
∴OA=8$\sqrt{2}$，
∴OH=4$\sqrt{2}$，AH=$\sqrt{3}$OH=$\sqrt{3}$×4$\sqrt{2}$=4$\sqrt{6}$，
∵S_{平行四邊形AOBC}=OB•AH=48$\sqrt{3}$，
∴OB=AC=6$\sqrt{2}$，
∴C（10$\sqrt{2}$，4$\sqrt{6}$）．
故答案為：（10$\sqrt{2}$，4$\sqrt{6}$）．

點評 此題考查了反比例函數(shù)的綜合，用到的知識點是三角函數(shù)、平行四邊形、反比例函數(shù)、三角形的面積等，要注意運用數(shù)形結合的思想，