Question

如圖，Rt△ABC和Rt△CDE中，∠A=30°，∠E=45°，AB=CE，∠BCD=30°，F(xiàn)G⊥AB，下列結(jié)論：①CH=FH；②BC=GC；③四邊形BDEF為平行四邊形；④FH=GF+BH．其中正確的結(jié)論是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①②④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ②③④

Answer 1

B
分析：在Rt△ACB中，由∠A為30°，得到∠ABC為60°，又∠BCD=30°，得到∠AHC為直角，再由Rt△CDE中，∠E=45°，得到∠ECD也為45°，故△FCH為等腰直角三角形，從而得到FH=CH，選項(xiàng)①正確；過(guò)G作GM于CD垂直，交CD于M，由三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到四邊形GMHF為矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等，得到GF=MH，GM=FH，等量代換得到GM=CH，由一對(duì)直角相等，再根據(jù)同角的余角相等得到一對(duì)角相等，利用“AAS”得到三角形CGM與三角形CBH全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到CG=CB，選項(xiàng)②正確；再根據(jù)剛才的全等得到GM=CH，由FH=CH=CM+MH，等量代換得到選項(xiàng)④正確；要使四邊形FBDE為平行四邊形，由一對(duì)直角即同位角相等，得到BF與DE平行，還要使EC與DB平行，故要使同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，即要∠HBD為45°，而∠HBD不一定為45°，故選項(xiàng)⑤不一定成立，綜上，得到正確結(jié)論的選項(xiàng)．
解答：解：∵Rt△ABC中，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，又∠BCD=30°，
∴∠FHC=90°，
又Rt△CDE中，∠E=45°，
∴∠ECD=45°，
∴△FCH為等腰直角三角形，
∴FH=HC，故選項(xiàng)①正確；
過(guò)G作GM⊥CD，交CD于M，
∴∠GMD=90°，
∴∠GCM+∠CGM=90°，又∠ACB=90°
∴∠GCM+∠BCH=90°，
∴∠CGM=∠BCH，
∵∠FHM=90°（已證），又GF⊥AB，∴∠GFH=90°，
∴四邊形GMHF為矩形，
∴GM=FH，GF=MH，
又FH=CH，
∴GM=CH，
又∵∠GMC=∠CHB=90°，
∴△GCM≌△CBH（AAS），
∴CM=BH，BC=CG，故選項(xiàng)②正確；
∴FH=CH=CM+MH=BH+GF，故選項(xiàng)④正確；
∵∠AHC=∠EDC=90°，
∴FB∥ED，
要使四邊形BDEF為平行四邊形，還需BD∥EC，
即要∠FCB+∠CBD=180°，
而∠FCB=∠ECD+∠DCB=45°+30°=75°，
故要∠CBD=∠CBA+∠ABD=105°，又∠CBA=60°，
即要∠ABD=45°，而∠ABD不一定等于45°，
故選項(xiàng)③不一定成立，
則其中正確的結(jié)論有①②④．
故選B
點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的判定．本題屬于結(jié)論型開(kāi)放題，此類(lèi)問(wèn)題往往是給出條件，去探索各種結(jié)論，解決此類(lèi)問(wèn)題常采用執(zhí)因索果，逐步推理的方法．是近幾年中考的熱點(diǎn)題型．不僅發(fā)展了學(xué)生的發(fā)散性思維，而且開(kāi)闊了視野，提高了學(xué)生的解題能力．作出輔助線GM構(gòu)造全等三角形是本題的突破點(diǎn)．