Question

1．在△ABM中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足為M，點C是BM延長線上一點，連接AC．
（1）如圖1，若AB=3$\sqrt{2}$，BC=5，求AC的長；
（2）如圖2，點D是線段AM上一點，MD=MC，點E是△ABC外一點，EC=AC，連接ED并延長交BC于點F，且點F是線段BC的中點，求證：∠BDF=∠CEF．

Answer 1

分析 （1）先由AM=BM=ABcos45°=3可得CM=2，再由勾股定理可得AC的長；
（2）延長EF到點G，使得FG=EF，證△BMD≌△AMC得AC=BD，再證△BFG≌△CFE可得BG=CE，∠G=∠E，從而得BD=BG=CE，即可得∠BDG=∠G=∠E．

解答 解：（1）∵∠ABM=45°，AM⊥BM，
∴AM=BM=ABcos45°=3$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3，
則CM=BC-BM=5-3=2，
∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$；

（2）延長EF到點G，使得FG=EF，連接BG．

由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM，
∴△BMD≌△AMC（SAS），
∴AC=BD，
又CE=AC，
因此BD=CE，
由BF=FC，∠BFG=∠EFC，FG=FE，
∴△BFG≌△CFE，
故BG=CE，∠G=∠E，
所以BD=CE=BG，
因此∠BDG=∠G=∠E．

點評 本題主要考查全等三角形的判定與性質及勾股定理、等腰直角三角形的性質等知識點，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．