Question

某數學興趣小組開展了一次活動，過程如下：
設∠BAC=（0°＜＜90°）.現把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線AB，AC上.
活動一：
如圖甲所示，從點A₁開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點處互相垂直，A₁A₂為第1根小棒.
數學思考：
（1）小棒能無限擺下去嗎？答：         .(填“能”或“不能”)
（2）設AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1.
①=_________度；
②若記小棒A_2n-1A_2n的長度為a_n（n為正整數，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，…）求出此時a₂，a₃的值，并直接寫出a_n（用含n的式子表示）.

 

 
活動二：
如圖乙所示，從點A₁開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A₁A₂為第1根小棒，且A₁A₂₌AA₁.
數學思考：
（3）若已經擺放了3根小棒，₁ =_________，₂=________，₃=________；（用含的式子表示）
（4）若只能擺放4根小棒，求的范圍.

Answer 1

解:（１）能．                             ………………1分
（２）① 22.5°.                          ………………2分
②方法一
∵A A₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，
∴A₁A₃=，AA₃=.
又∵A₂A₃⊥A₃A₄ ，∴A₁A₂∥A₃A₄.
同理：A₃A₄∥A₅A₆，
∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅，
∴AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆
∴a₂=A₃A₄=AA₃=，            ………………3分
a₃=AA₃+ A₃A₅=a₂+ A₃A₅.          
∵A₃A₅=a₂，
∴a₃=A₅A₆=AA₅=. ………………4分
方法二
∵A A₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，
∴A₁A₃=，AA₃=.
又∵A₂A₃⊥A₃A₄ ，∴A₁A₂∥A₃A₄.
同理：A₃A₄∥A₅A₆.
∴∠A₂A₃A₄=∠A₄A₅A₆=90°，∠A₂A₄A₃=∠A₄ A₆A₅，
∴△A₂A₃A₄∽△A₄A₅A₆，
∴，∴a₃=.   ………………4分
                    ………………5分
（３）                          ………………6分
                           ………………7分
                           ………………8分
（４）由題意得:
∴.                 ………………10分

解析