Question

（2013•新華區(qū)一模）如圖，拋物線y=-x²-x+2與x軸交于A、B兩點（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于點C，它的頂點為M，點P為線段AM上一動點，過點P作PN⊥x軸，垂足為N，設(shè)ON的長為m，四邊形BCPN的面積為S．解決下列問題：
（1）點M的坐標(biāo)是（

1

2

，

9

4

）；
（2）求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）當(dāng)m為何值時，PC⊥BC？
（4）將△BOC補(bǔ)成矩形，使△BOC的兩個頂點B、C成為矩形的一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上．試直接寫出矩形未知頂點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將拋物線的解析式y(tǒng)=-x²-x+2改為頂點式就可以求出頂點坐標(biāo)，而得出結(jié)論；
（2）根據(jù)拋物線的解析式求出點A、B、C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出AM的解析式，就可以表示出PN的值，由S_{四邊形BCPN}=S_梯形PNOC+S_△BOC；
（3）根據(jù)勾股定理建立一個關(guān)于m的方程組就可以求出其解；
（4）過點O作OT∥BC，PC⊥OT于E，BH⊥OE于H，過點E作EF⊥y軸，垂足為F，易得Rt△CEF∽Rt△BCO，就可以得出線段之間的數(shù)量關(guān)系，過點O作OG⊥BC，垂足為G，由三角形的面積關(guān)系就可以求出OG的值，從而可以由相似三角形的性質(zhì)求出E的坐標(biāo)，用同樣的方法可以求出H的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²-x+2，
∴y=-（x+

1

2

）²+

9

4

，
∴點M的坐標(biāo)是（-

1

2

，

9

4

）．

（2）在y=-x²-x+2中，當(dāng)x=0時，y=2，
∴C（0，2）．
∴OC=2．
當(dāng)y=0時，-x²-x+2=0，
解得：x₁=-2，x₂=1．
∴A（-2，0）；B（1，0）．
∴OA=2，0B=1．
設(shè)直線AM的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則有：

0=-2k+b 9 4 =- 1 2 k+b.

解得：

k= 3 2 b=3.

，
∴y=

3

2

x+3． 
∵ON=m，
∴N（-m，0），
P（-m，-

3

2

m+3）
∴S=S_{四邊形PNOC}+S_△OBC=

1

2

[(-

3

2

m+3)+2]m+

1

2

×1×2．
∴S=-

3

4

m2+

5

2

m+1．（

1

2

≤m＜2）．  

（3）連結(jié)PB，如果PC⊥BC，則有
PC²=PB²-BC²=PN²+NB²-BC²，
=（-

3

2

m+3）²+（m+1）²-5
=

13

4

m²-7m+5．
如圖，過點P作PH⊥y軸，垂足為H，則有
PH=m，CH=2-（-

3

2

m+3）=

3

2

m-1，
在Rt△PHC中，根據(jù)勾股定理，得
PC2=PH2+CH2，
=m²+（

3

2

m-1）²，
=

13

4

m²-3m+1
∴

13

4

m2-7m+5=

13

4

m2-3m+1．
解得：m=1．
∴當(dāng)m=1時，有PC⊥BC；

（4）過點O作OT∥BC，PC⊥OT于E，BH⊥OE于H，過點E作EF⊥y軸，垂足為F，
∴∠CEO=∠BHO=∠OGB=∠OGC=90°．
∴∠ECB=∠HBC=90°．
∴四邊形CEHB和四邊形OGBH是矩形，
∴CE=HB=OG．
在Rt△BOC中，
∴

OC•BO

2

=

BC•OG

2

．
∵BC=

4+1

=

5

，
∴

1×2

2

=

5 OG

2

，
∴OG=

2 5

5

．
∵△CEF∽△BCO，
∴

EF

CO

=

CE

BC

=

FC

OB

，
∴

2 5 5

5

=

CF

1

，

EF

2

=

2 5 5

5

∴CF=

2

5

，EF=

4

5

，
∴OF=2-

2

5

=

8

5

，
∴E（-

4

5

，

8

5

），
在Rt△OHB中，由勾股定理，得
OH=

1- 20 25

=

5

5

．
作HQ⊥OB于Q，
∴

QH

2

=

5 5 × 2 5 5

2

，
∴QH=

2

5

，
∴OQ=

5 25 - 4 25

=

1

5

，
∴H（

1

5

，-

2

5

）． 
∴矩形另兩個頂點的坐標(biāo)為（-

4

5

，

8

5

），（

1

5

，-

2

5

）．
故答案為：-

1

2

，

9

4

．

點評：本題考查了拋物線頂點式的運用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運用，勾股定理的運用，多邊形面積公式的運用，矩形的性質(zhì)的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，特別在求第四問時靈活運用相似三角形的性質(zhì)及勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．