Question

16．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AD為邊上的高，將△ADC沿直線AC翻折得到△AEC，延長EA交⊙O于點P，連接FC，交AB于N．
（1）求證：∠BAC=∠ABC+∠ACF；
（2）求證：EF=DB；
（3）若AD=5，CD=10，CB∥AF，求點F到AB的距離．

Answer 1

分析 （1）由△ADC沿直線AC翻折得到△AEC，可得∠BAC=∠EAC=∠ACF+∠F，又∠F=∠ABC，即可推出∠BAC=∠ABC+∠ACF；
（2）只要證明△CEF≌△CDB，即可推出EF=BD；
（3）首先證明tan∠EGA=tanB=tan∠BAF=$\frac{4}{3}$，設(shè)AF=a，BD=EF=5+a，構(gòu)建tanB=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{10}{5+a}$=$\frac{4}{3}$，推出a=$\frac{5}{2}$，在Rt△AMF中，構(gòu)建tan∠FAM=$\frac{FM}{AM}$=$\frac{4}{3}$，即可推出AF=$\frac{5}{2}$，即可解決問題；

解答 （1）證明：如圖1中，∵△ADC沿直線AC翻折得到△AEC，
∴∠BAC=∠EAC=∠ACF+∠F，
∵∠F=∠ABC，
∴∠BAC=∠ABC+∠ACF．

（2）在△CEF和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠B}\\{∠E=∠CDB}\\{CE=CD}\end{array}\right.$
∴△CEF≌△CDB，
∴EF=BD．

（3）由四邊形AECD，可證得∠BAF=∠ECD=2∠ACD，
取AC中點H作HG⊥AC，交CE于點G，則GC=GA，
∴∠EGA=2∠GCA=∠ECD，
設(shè)GC=GA=x，則EG=10-x，
在Rt△AEG中，5²+（10-x）²=x²，
∴x=$\frac{25}{4}$，
∴tan∠EGA=$\frac{4}{3}$，
∵BC∥AF，
tanB=tan∠BAF=$\frac{4}{3}$，
設(shè)AF=a，BD=EF=5+a
tanB=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{10}{5+a}$=$\frac{4}{3}$，
∴a=$\frac{5}{2}$，
在Rt△AMF中，∵tan∠FAM=$\frac{FM}{AM}$=$\frac{4}{3}$，AF=$\frac{5}{2}$，
∴FM=2．

點評 本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用三角函數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．