Question

在直角坐標(biāo)系中，△ABC滿足，∠C=90°，AC=2，BC=1，點(diǎn)A，C分別在x軸、y軸上，當(dāng)A點(diǎn)從原點(diǎn)開始在正x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨著在正y軸上運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)A在原點(diǎn)時(shí)，求原點(diǎn)O到點(diǎn)B的距離OB；
（2）當(dāng)OA=OC時(shí)，求原點(diǎn)O到點(diǎn)B的距離OB；
（3）求原點(diǎn)O到點(diǎn)B的距離OB的最大值，并確定此時(shí)圖形應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

解：（1）當(dāng)A點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，如圖，

AC在y軸上，BC⊥y軸，
所以．
目的是從特殊情況理解題意，考察勾股定理的基本應(yīng)用與計(jì)算．

（2）當(dāng)OA=OC時(shí)，如圖，△OAC是等腰直角三角形，AC=2．
所以∠1=∠2=45°，．
過點(diǎn)B作BE⊥OA于E，過點(diǎn)C作CD⊥OC，且CD與BE交于點(diǎn)D，
則∠3=90°-∠ACD=90°-（90°-45°）=45°．又BC=1，
所以，，
因此．

（3）解法一：如圖所示，設(shè)∠ACO=θ，過C作CD⊥OC，

由于∠BCA=90°，所以∠BCD=θ．由AC=2，BC=1，可以得B點(diǎn)的坐標(biāo)
為B（cosθ，sinθ+2cosθ）．則l²=OB²=cos²θ+（sinθ+2cosθ）²=cos²θ+sin²θ+4sinθcosθ+4cos²θ=1+2sin2θ+4cos²θ=3+2sin2θ+2（2cos²θ-1）=3+2sin2θ+2cos2θ==
當(dāng)時(shí)，，所以．
解法二：如圖，取AC的中點(diǎn)E，連接OE，BE．在Rt△AOC中，OE是斜邊AC上的中線，所以．

在△ACB中，BC=1，，
所以．
若點(diǎn)O，E，B不在一條直線上，則，
若點(diǎn)O，E，B在一條直線上，
則，
所以當(dāng)點(diǎn)O，E，B在一條直線上時(shí)，OB取到最大值，
最大值是．
當(dāng)O，E，B在一條直線上時(shí)，OB取到最大值時(shí)，
從下圖可見，OE=1，．∠CEB=45°，但CE=OE=1，
．
分析：（1）根據(jù)勾股定理即可求解；
（2）當(dāng)OA=OC時(shí)，如圖，△OAC是等腰直角三角形，過點(diǎn)B作BE⊥OA于E，過點(diǎn)C作CD⊥OC，且CD與BE交于點(diǎn)D，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解；
（3）取AC的中點(diǎn)E，連接OE，BE．在Rt△AOC中，OE是斜邊AC上的中線，所以．證明當(dāng)O，E，B在一條直線上時(shí)，OB取到最大值時(shí)即可求解；
點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，難度較大，主要是巧妙地利用了線段的基本性質(zhì)：兩點(diǎn)間線段最短．一般地說，線段基本性質(zhì)常用來求最小值．即線段AB長(zhǎng)為定值時(shí)，AC+BC的最小值為AB，此時(shí)C在AB上．這是線段基本性質(zhì)的一種應(yīng)用；而另一種應(yīng)用往往為人們所忽視：如果兩條線段AC和CB在C點(diǎn)接在一起，AC=m與CB=n都是定長(zhǎng)；那么AC+BC的最大值為m+n，此時(shí)C、A、B三點(diǎn)共線．