Question

2．我們學(xué)習(xí)了整式的乘法后，可進行如下計算：（a+b）¹=a+b；（a+b）²=a²+2ab+b²；（a+b）³=（a+b）²（a+b）=a³+3a²b+3ab²+b³；
…
如果我們對（a+b）ⁿ （n取正整數(shù)）的計算結(jié)果中各項系數(shù)進一步研究，可以列出下表：

（a+b）1=a+b					1		1
（a+b）2=a2+2ab+b2				1		2		1
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3			1		3		3		1
…						…

上表稱為“楊輝三角”，揭示了二項式乘方展開式的規(guī)律．
（1）請仔細觀察表中的規(guī)律，寫出（a+b）⁴展開式中所缺的系數(shù)：（a+b）⁴=a⁴+a³b+a²b²+ab³+b⁴
（2）請寫出（a+b）⁵的展開式：（a+b）⁵=（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵
（3）當n=1、2、3、4、…時，（a+b）ⁿ展開式的第三項系數(shù)分別為0、1、3、6、…，猜想（a+b）ⁿ展開式的第三項系數(shù)為$\frac{n（n-1）}{2}$（用含n的代數(shù)式表示）；
（4）當n=1、2、3、4、…時，（a+b）ⁿ展開式的各項系數(shù)之和分別為2、4、8、16、…，猜想（a+b）ⁿ展開式的各項系數(shù)之和為2ⁿ（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“楊輝三角”中系數(shù)規(guī)律確定出所求系數(shù)即可；
（2）根據(jù)“楊輝三角”中系數(shù)規(guī)律確定出所求展開式即可；
（3）根據(jù)“楊輝三角”中系數(shù)規(guī)律確定出所求系數(shù)，猜想得到結(jié)果即可；
（4）根據(jù)“楊輝三角”中系數(shù)規(guī)律確定出所求系數(shù)，并求出系數(shù)之和即可．

解答 解：（1）（a+b）⁴展開式中所缺的系數(shù)：（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴；
（2）（a+b）⁵的展開式：（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵；
（3）當n=1、2、3、4、…時，（a+b）ⁿ展開式的第三項系數(shù)分別為  0、1、3、6、…，猜想（a+b）ⁿ展開式的第三項系數(shù)為$\frac{n（n-1）}{2}$；
（4）當n=1、2、3、4、…時，（a+b）ⁿ展開式的各項系數(shù)之和分別為2、4、8、16、…，猜想（a+b）ⁿ展開式的各項系數(shù)之和為2ⁿ．
故答案為：（2）（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵；（3）0，1，3，6，$\frac{n（n-1）}{2}$；（4）2，4，8，16，2ⁿ

點評 此題考查了整式的混合運算，弄清“楊輝三角”中系數(shù)規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．