Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（-1，0），B（4，0），C（0，2），連接AC、BC．
（1）試說明：∠ACB=90°；
（2）在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，請寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A，B，C的坐標(biāo)得出

CO

BO

=

AO

CO

=

1

2

，進(jìn)而得出△AOC∽△COB，即可得出∠ACB=90°；
（2）分別根據(jù)：①當(dāng)△P₁CB∽△OCA時，②當(dāng)△P₂CB∽△ACO時，③當(dāng)△P₃CB∽△AOC時，④當(dāng)△P₄CB∽△OAC時，利用相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理求出即可．

解答：（1）證明：如圖1，
∵A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴CO=2，AO=1，BO=4，
∴

CO

BO

=

AO

CO

=

1

2

，
∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠1=∠OBC，
∴∠1+∠2=90°，
即∠ACB=90°；

（2）解：①當(dāng)△P₁CB∽△OCA時，
∴∠P₁CB=∠ACO，∠P₁BC=∠CAO，
∴P₁C∥BO，P₁B∥CO，
∴四邊形P₁BOC是平行四邊形，
又∵∠COB=90°，
∴平行四邊形P₁BOC是矩形，
∴P₁B=CO=2，P₁C=BO=4，
∴P₁點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，2），
②過點(diǎn)P₂，作P₂D⊥BO于點(diǎn)D，
當(dāng)△P₂CB∽△ACO時，
∴

P2B

AO

=

BC

CO

，
∵AO=1，CO=2，BC=

22+42

=2

5

，
∴

P2B

1

=

2 5

2

，
解得：P₂B=

5

，
∵∠CBP₂=90°，
∴∠CBO+∠P₂BD=90°，
∵∠BP₂D+∠P₂BD=90°，
∴∠CBO=∠BP₂D，
∵∠COB=∠BDP₂，
∴△COB∽△BDP₂，
∴△AOC∽△BDP₂，
∴

BD

P2D

=

AO

CO

=

1

2

，
設(shè)BD=x，則DP ₂=2x，
∴x ²+（2x） ²=（

5

） ²，
解得：x=1，
∴BD=1，DP ₂=2，
∴P₂點(diǎn)坐標(biāo)為：（5，2），
③當(dāng)△P₃CB∽△AOC時，
由②同理即可得出：P₃點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，4），
④過點(diǎn)P₄，作P₄M⊥CO于點(diǎn)M，P₄N⊥BO于點(diǎn)N，
當(dāng)△P₄CB∽△OAC時，
∴

P4C

AO

=

BC

AC

，
∴

P4C

1

=

2 5

5

，
∴P₄C=2，
則P₄B=4，
設(shè)P₄的坐標(biāo)為：（x，y），
∴MC=y-2，P₄M=x，BN=4-x，P₄N=y，
∴

(y-2)2+x2=4 y2+(4-x)2=16

，
可得y=2x，
∴（2x）²+（4-x）²=16，
解得：x=

8

5

或x=0（不合題意舍去），
故y=

16

5

，
P₄的坐標(biāo)為：（

8

5

，

16

5

），
⑤當(dāng)△AOC∽△BCP₅時，P5的坐標(biāo)是：（4，10）；
⑥當(dāng)△AOC∽△P6BC，時，P6的坐標(biāo)是：（8，8）；
綜上所述P點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，2），（5，2），（1，4），（

8

5

，

16

5

）（4，10）（8，8）．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．