Question

正方形ABCD的邊AB是⊙O的直徑，CF切⊙O于點E，交AD于點F，且切點E在正方形的內部，AE、BE的長是x²-3x+m=0的兩實根，令n=AB²．
①求n與m函數(shù)關系式，并求出自變量m的取值范圍；
②求m的值和AF的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：①根據(jù)根與系數(shù)的關系得AE+BE=3，AE•BE=m，再根據(jù)圓周角定理由AB是⊙O的直徑得∠AEB=90°，則根據(jù)勾股定理得AB²=AE²+BE²，利用完全平方公式變形得到AB²=（AE+BE）²-2AE•BE，所以n=9-2m，根據(jù)判別式的意義和方程的根為正根得0＜m＜

9

4

，而由n=AB²=9-2m＞0得到m＜

9

2

，于是得到n與m函數(shù)關系式為n=9-2m（0＜m＜

9

4

）；
②連接OC，交BE于M，易得BC為⊙O的切線，根據(jù)切線長定理得∠ECO=∠BCO，CE=CB，則可判斷OM垂直平分BE，所以OM⊥BE、EM=BM，再證明OM是△ABE的中位線，得到AE=2OM，然后證明△AEB≌△BMC，得到AE=BM，則BM=2OM=4OM，設OM=x，則AE=BM=2x，BE=4x，利用AE+BE=3得2x+4x=3，解得x=

1

2

，則AE=1，BE=2，m=AE•BE=2，n=9-2m=5，所以AB=

5

，同理得到AF為⊙O的切線，得FA=FE，設AF=y，則DF=

5

-y，EF=y，CF=CE+EF=

5

+y，在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理得到（

5

-y）²+（

5

）²=（

5

+y）²，最后解方程即可．

解答：解：①∵AE，BE的長是方程x²-3x+m=0兩個實根，
∴AE+BE=3，AE•BE=m，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴AB²=AE²+BE²，
∴AB²=（AE+BE）²-2AE•BE=9-2m，
而n=AB²，
∴n=9-2m，
∵AE≠BE，
∴△=9-4m＞0且m＞0，
∴0＜m＜

9

4

，
又∵n=AB²＞0，即9-2m＞0
∴m＜

9

2

，
∴n與m函數(shù)關系式為n=9-2m（0＜m＜

9

4

）；
②連接OC，交BE于M，如圖，
∵∠ABC=90°，
∴BC為⊙O的切線，
∵CE為⊙O的切線，
∴∠ECO=∠BCO，CE=CB，
∴OM垂直平分BE，即OM⊥BE、EM=BM，
又∵O是AB的中點，
∴OM是△ABE的中位線，即AE=2OM，
∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABE和△BMC中

∠2=∠1 ∠AEB=∠BMC AB=BC

，
∴△AEB≌△BMC（AAS），
∴AE=BM，
∴BM=2OM，
∴BE=4OM，
設OM=x，則AE=BM=2x，BE=4x，
∵AE+BE=3，
∴2x+4x=3，解得x=

1

2

，
∴AE=1，BE=2，m=AE•BE=2，
∴n=9-2m=5，
∴AB=

5

，
∵∠BAD=90°，
∴AF為⊙O的切線，
∴FA=FE，
設AF=y，則DF=

5

-y，EF=y，CF=CE+EF=

5

+y，
在Rt△CDF中，
∵DF²+CD²=CF²，
∴（

5

-y）²+（

5

）²=（

5

+y）²，解得y=

5

4

，
即AF的長為

5

4

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、切線的判定與性質和切線的長定理；會利用全等三角形的知識解決線段相等的問題；理解一元二次方程根的判別式的意義和根與系數(shù)的關系；會運用勾股定理進行幾何計算．