Question

14．已知E、F分別是正方形ABCD的邊BC、DC上的點，且∠EAF=45°，自E、F分別作AC的垂線，垂足為P、Q，求證：AB²=AP•AQ．

Answer 1

分析 證得△ABE∽△AQF，得出$\frac{AB}{AQ}$=$\frac{AE}{AF}$，同理證得△AEP∽△AFD，得出$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AP}{AD}$，代換整理求出結(jié)論即可．

解答 證明：如圖，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，∠BAC=45°=∠1+∠2，
∵∠EAF=45°=∠2+∠3，
∴∠1=∠3，
∵FQ⊥AC，
∴∠AQF=∠B=90°，
∴△ABE∽△AQF，
∴$\frac{AB}{AQ}$=$\frac{AE}{AF}$，
同理可得：△AEP∽△AFD，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AP}{AD}$，
∴$\frac{AB}{AQ}$=$\frac{AP}{AD}$，
∴AB²=AP•AQ．

點評 本題考查了正方形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握三角形相似的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．