Question

4．已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{2x}$和一次函數(shù)y=kx-1交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，b）．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$，求△AOB的面積；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)都求出來(lái)；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)題意得出$\frac{k}{2}$=b，k-1=b，進(jìn)而求得b=1，k=2，從而求得一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)△AOB的面積=S_△AOC+S_△BOC求解；
（3）分兩種情況考慮：①當(dāng)OA是底邊時(shí)，則OA的垂直平分線和x軸的交點(diǎn)；②當(dāng)OA是腰時(shí)，則分別以O(shè)、A為圓心，以O(shè)A為半徑畫(huà)弧，和x軸的交點(diǎn)（點(diǎn)O除外）．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{2x}$和一次函數(shù)y=kx-1過(guò)A（1，b），
∴$\frac{k}{2}$=b，k-1=b，
∴b=1，k=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{x}$，一次函數(shù)的解析式為y=2x-1；
（2）∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-2，
由一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=2x-1，得直線AB與x軸的交點(diǎn)是C（$\frac{1}{2}$，0），
△AOB的面積=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×2=$\frac{3}{4}$．
（3）∵A（1，1），
∴OA=$\sqrt{2}$，
①若OA=OP，
則OP=$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（$\sqrt{2}$，0）或（-$\sqrt{2}$，0）；
②若AO=AP，
過(guò)A作AD⊥x軸于D，
∴OD=1，
∴OP=2OD=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）；
③若OP=AP，
則P是OA的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，
則點(diǎn)P為（1，0）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，0）或（$\sqrt{2}$，0）或（-$\sqrt{2}$，0）或（2，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法、三角形的面積的計(jì)算方法以及等腰三角形的判定和性質(zhì)．