Question

如圖1，邊長為4的正方形ABCD中，點E在AB邊上（不與點A、B重合），點F在BC邊上（不與點B、C重合）。

第一次操作：將線段EF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E落在正方形上時，記為點G；

第二次操作：將線段FG繞點G順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點F落在正方形上時，記為點H；

依此操作下去…

（1）圖2中的三角形EFD是經(jīng)過兩次操作后得到的，其形狀為____，求此時線段EF的長；

（2）若經(jīng)過三次操作可得到四邊形EFGH。

①請判斷四邊形EFGH的形狀為______，此時AE與BF的數(shù)量關(guān)系是______。

②以①中的結(jié)論為前提，設(shè)AE的長為x，四邊形EFGH的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍。

Answer 1

【解答】（1）等邊三角.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝BC＝AB，∠A＝∠B＝∠C＝90°.

∵ED=FD，

∴△ADE≌△CDF.(HL)

∴AE＝CF，BE＝BF.

∴BEF是等腰直角三角形。

設(shè)BE的長為x，則EF=x，AE=4- x.

∵在Ｒt△AED中，，DE=EF，

∴

解得，(不合題意，舍去).

∴EF＝x＝（－）＝－4＋4

（2） ①四邊形EFGH為正方形；AE＝BF.

②∵AE＝x，

∴BE=4-x.

∵在Ｒt△BED中，，AE=BF，

∴

∵點E不與點A、B重合，點F不與點B、C重合，

∴0＜x＜4.

∵

，

∴當(dāng)x=2時有最小值8，當(dāng)x=0或4時，有最大值16，

∴y的取值范圍是8＜y＜16.