Question

12．在學(xué)習(xí)完一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)后，我們可以利用圖象上“數(shù)對(duì)”的一些特殊情況，來(lái)重新看待和它相關(guān)的一元一次方程、二元一次方程組的解，一元一次不等式（不等式組）的解集問(wèn)題，下面是有關(guān)的描述：
圖1是一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+1的圖象，由于當(dāng)x=-2時(shí)，y=0，所以我們可以知道二元一次方程y=$\frac{1}{2}$x+1一組解是$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=0\end{array}$；也可以得到一元一次方程$\frac{1}{2}$x+1=0的解是，x=-2；同時(shí)還可以得到不等式$\frac{1}{2}$x+1＜0的解集是x＜-2．
請(qǐng)嘗試用以上的內(nèi)在聯(lián)系通過(guò)觀(guān)察圖象解決如下問(wèn)題：
（1）觀(guān)察圖1請(qǐng)直接寫(xiě)出0＜$\frac{1}{2}$x+1＜1時(shí)，x的取值范圍-2＜x＜0；
（2）請(qǐng)通過(guò)觀(guān)察圖2直接寫(xiě)出$\frac{1}{2}$x+1＞-2x+2的解集x＞0.4；
（3）圖3給出了y₁=$\frac{1}{2}$x+1以及y₃=-x²+2x+1的圖象，請(qǐng)直接寫(xiě)出-x²+2x+1-$\frac{1}{2}$x-1＜0的解集x＜0或x＞1.5．

Answer 1

分析 （1）由圖象可知當(dāng)y=0和y=1時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值，結(jié)合圖象可求得x的取值范圍；
（2）不等式的解集即函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+1圖象在函數(shù)y=-2x+2上方時(shí)對(duì)應(yīng)的x的取值范圍，結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)可求得答案；
（3）把不等式可轉(zhuǎn)化為y₃＜y₁，即直線(xiàn)在二次函數(shù)圖象的上方時(shí)所對(duì)應(yīng)的x的取值，結(jié)合兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)可求得答案．

解答 解：
（1）由圖象可知當(dāng)y=0時(shí)，x=-2，當(dāng)y=1時(shí)，x=0，
∴當(dāng)0＜$\frac{1}{2}$x+1＜1時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的取值范圍為：-2＜x＜0，
故答案為：-2＜x＜0；
（2）由圖象可知，y₁、y₂的圖象交于A(yíng)點(diǎn)，
∵$\frac{1}{2}$x+1＞-2x+2，
∴y₁＞y₂，
即y₁的圖象在y₂圖象上方時(shí)對(duì)應(yīng)的x的取值范圍，
結(jié)合圖象可知在A(yíng)點(diǎn)右側(cè)時(shí)滿(mǎn)足條件，
∵A（0.4，1.2），
∴不等式$\frac{1}{2}$x+1＞-2x+2的解集為x＞0.4，
故答案為：x＞0.4；
（3）∵-x²+2x+1-$\frac{1}{2}$x-1＜0
∴-x²+2x+1＜$\frac{1}{2}$x+1，
即y₃的圖象在y₁的圖象的下方，
∴對(duì)應(yīng)的x的取值范圍為x＜0或x＞1.5，
即不等式-x²+2x+1-$\frac{1}{2}$x-1＜0的解集為x＜0或x＞1.5，
故答案為：x＜0或x＞1.5．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系及轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．充分利用數(shù)形結(jié)合思想，把不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)不多，但是需要注意對(duì)圖形充分觀(guān)察，難度適中．