Question

如圖，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P為AC邊上一動點，設(shè)PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．

（1）證明：△PCE是等腰三角形；

（2）EM、FN、BH分別是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代數(shù)式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）當(dāng)k=4時，求四邊形PEBF的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．x為何值時，S有最大值？并求出S的最大值．

Answer 1

考點：

等腰三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；解直角三角形．

分析：

（1）根據(jù)等邊對等角可得∠A=∠C，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，從而得到∠CPE=∠C，即可得證；

（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的長，再根據(jù)結(jié)果整理可得EM+FN=BH；

（3）分別求出EM、FN、BH，然后根據(jù)S_△PCE，S_△APF，S_△ABC，再根據(jù)S=S_△ABC﹣S_△PCE﹣S_△APF，整理即可得到S與x的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：

（1）證明：∵AB=BC，

∴∠A=∠C，

∵PE∥AB，

∴∠CPE=∠A，

∴∠CPE=∠C，

∴△PCE是等腰三角形；

（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，

∴CM=CP=，tanC=tanA=k，

∴EM=CM•tanC=•k=，

同理：FN=AN•tanA=•k=4k﹣，

由于BH=AH•tanA=×8•k=4k，

而EM+FN=+4k﹣=4k，

∴EM+FN=BH；

（3）解：當(dāng)k=4時，EM=2x，F(xiàn)N=16﹣2x，BH=16，

所以，S_△PCE=x•2x=x²，S_△APF=（8﹣x）•（16﹣2x）=（8﹣x）²，S_△ABC=×8×16=64，

S=S_△ABC﹣S_△PCE﹣S_△APF，

=64﹣x²﹣（8﹣x）²，

=﹣2x²+16x，

配方得，S=﹣2（x﹣4）²+32，

所以，當(dāng)x=4時，S有最大值32．

點評：

本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，二次函數(shù)的最值問題，表示出各三角形的高線是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．