Question

設(shè)x，y，z，w為四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，并且x+

1

y

=y+

1

z

=z+

1

ω

=w+

1

x

求證：x²y²z²w²=1

Answer 1

分析：分析與解我們先考慮一個(gè)特例，只取兩個(gè)不同實(shí)數(shù)，簡化原來命題．設(shè)x、yt為不相等實(shí)數(shù)，且x+

1

y

=y+

1

x

，求證x²y²=1．
（1）求證這個(gè)特殊化的輔助問題就容易多了．根據(jù)x≠y，很容易證明x²y²=1．
（2）從特例法中，我們得到已知條件變形的啟示，回到原命題，聯(lián)立組成方程組

x+ 1 y =y+ 1 z y+ 1 z =z+ 1 ω z+ 1 ω =ω+ 1 x ω+ 1 x =x+ 1 y

．
通過將方程組變形，再將四個(gè)方程相乘，化簡可得到x²y²z²w²=1．

解答：證明：∵x+

1

y

=y+

1

z

=z+

1

ω

=w+

1

x

∴

x+ 1 y =y+ 1 z y+ 1 z =z+ 1 ω z+ 1 ω =ω+ 1 x ω+ 1 x =x+ 1 y

?

x-y= 1 z - 1 y y-z= 1 ω - 1 z z-ω= 1 x + 1 ω ω-x= 1 y - 1 y

?

(x-y)zy=y-z          ① (y-z)ωz=z-ω        ② (z-ω)xω=ω-x       ③ (ω-x)yx=x-y         ④

由①×②×③×④得，x²y²z²w²（x-y）（y-z）（z-w）（w-x）=（x-y）（y-z）（z-w）（w-x）
∵x，y，z，w互不相等
∴x²y²z²w²=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由分式等式向整式等式轉(zhuǎn)化的方法．同學(xué)們需注意等式左右兩邊同乘以、或除以一個(gè)不等于0的式子等式的值不變．