Question

如圖，已知拋物線P：y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在x軸的正半軸上），與y軸交于點C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點F、G分別在線段BC、AC上，拋物線P上部分點的橫坐標對應的縱坐標如下：

（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）若點D的坐標為（m，0），矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數關系，并指出m的取值范圍；（3）當矩形DEFG的面積S取最大值時，連接DF并延長至點M，使FM=k·DF，若點M不在拋物線P上，求k的取值范圍。

Answer 1

解：（1）設
任取x,y的三組值代入，求出解析式
令y=0，求出；令x=0，得y=-4，
∴ A、B、C三點的坐標分別是A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）。
（2）由題意，
而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m
又，EF=DG，得BE=4-2m，
∴DE=3m
∴S_DEFG=DG·DE=（4-2m）3m=12m-6m² （0＜m＜2）。
（3） ∵S_DEFG=12m-6m² （0＜m＜2），
∴m=1時，矩形的面積最大，且最大面積是6
當矩形面積最大時，其頂點為D（1，0），G（1，-2），F（-2，-2），E（-2，0）
設直線DF的解析式為y=kx+b，易知k=，b=-
∴
又可求得拋物線P的解析式為
令，可得x=
設射線DF與拋物線P相交于點N，則N的橫坐標為，過N作x軸的垂線交x軸于H，有
 
點M不在拋物線P上，即點M不與N重合時，
此時k的取值范圍是k≠，且k＞0。