Question

如圖，C是的中點(diǎn)，CF⊥AB，F(xiàn)為垂足．
（1）求證：△AEC是等腰三角形．
（2）設(shè)AB=4，∠DAB=30°，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）連接BC，
∵C是的中點(diǎn)，
∴∠CAD=∠ABC，
又∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，又CF⊥AB，
∴∠ACF=∠ABC，
∴∠CAD=∠ACF，
∴△AEC是等腰三角形；

（2）連接BD，
在Rt△ABD中，∠DAB=30°，AB=4，則BD=2，
設(shè)∠CAD=∠ACF=x，
∴∠DAB+2x=90°，
∴2x=60°，即∠CAB=60°，∴CBA=30°，
∴AC=AB=2，
，∴AC=BD=2，
在△ACF中，AF=AC=1，
∴AE=，
∴CE=．
分析：（1）連接BC，根據(jù)圓周角定理得出∠ACB=90°，以及∠ACF=∠ABC，即可得出答案．
（2）根據(jù)在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得出AC=BD=2，進(jìn)而得出AE的長(zhǎng)即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理以及等腰三角形的判定，根據(jù)已知作出輔助線構(gòu)造直徑所對(duì)圓周角是解題關(guān)鍵．