Question

某機械廠有大量直角三角形鐵板余料，已知∠ACB=90°，AC=5cm，∠B=30°現(xiàn)將這種三角形余料進行加工裁剪成扇形（如圖甲）和半圓形（如圖乙、丙）的零件墊片，圖甲中D為切點，圖乙中C、D為切點，圖丙中D、E為切點．

（1）分別求出三種情形下零件墊片的面積；
（2）哪種裁剪方式可使余料再利用最好．

Answer 1

解：（1）∵∠ACB=90°，AC=5cm，∠B=30°
∴AB=10，BC=5；
①甲：連接CD，
∵D為切點
∴扇形的半徑r=CD
∴10CD=5×5
即CD=
∴S=CD²π=π≈4.69π cm²；
②乙：連接OD，
∵C、D為切點
∴扇形的半徑r=OD=OC，且OD⊥AB
∴△BOD∽△BAC
∴OD：AC=OB：AB
即r：5=（5-r）：10
解得r=
∴S=×π=π≈4.17πcm²；
③丙：連接OD，OE，
∵D、E為切點
∴扇形的半徑r=OD=OE
∴△AOD∽△ABC
∴AD：AC=OD：BC
即（5-r）：5=r：5
解得r=
∴S=πr²=π≈5.02πcm²；


（2）由（1）可知，這三種裁剪方式中，丙所裁得的扇形的面積最大，從材料的利用率方面來看丙的裁剪方式可使余料再利用最好．
分析：（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得直角邊BC、AC的長，然后分別計算甲、乙、丙三種裁剪方式所得扇形的面積．
①甲：連接CD，利用直角三角形的面積作為相等關(guān)系求得扇形的半徑后可求得扇形的面積；
②乙：連接OD，利用△BOD∽△BAC得到OD：AC=OB：AB，列關(guān)于半徑的方程r：5=（5-r）：10，即可求得半徑，從而求得扇半圓的面積；
③丙：連接OD，OE，利用△AOD∽△ABC可得AD：AC=OD：BC，列出關(guān)于半徑的方程（5-r）：5=r：5，解方程求得半徑，再求出半圓的面積即可．
（2）通過比較（1）中所求三種扇形的面積大小，可知丙所裁得的扇形的面積最大，所以丙的裁剪方式可使余料再利用最好．
點評：主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和扇形的面積計算．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)過切點的半徑與切線之間的垂直關(guān)系構(gòu)造直角三角形，利用相似中的成比例線段作為相等關(guān)系來求扇形的半徑，從而求出對應(yīng)的特殊扇形的面積．