Question

在平面直角坐標系中，拋物線與x軸的兩個交點分別為A（-3，0），B（1，0），過頂點C作CH⊥x軸于點H．

（1）a= ，b= ，頂點C的坐標為 ．

（2）在軸上是否存在點D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由．

（3）若點P為x軸上方的拋物線上一動點（點P與頂點C不重合），PQ⊥AC于點Q，當△PCQ與△ACH相似時，求點P的坐標．

Answer 1

（1），，C（﹣1，4）；（2）存在，點D（0，3）或（0，1）；（3）P（，）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）將A（﹣3，0）、B（1，0），代入求出即可，再利用平方法求出頂點坐標即可；

（2）首先證明△CED∽△DOA，得出y軸上存在點D（0，3）或（0，1），即可得出△ACD是以AC為斜邊的直角三角形；

（3）首先求出直線CA的解析式為，再利用聯(lián)立兩函數(shù)解析式即可得出交點坐標，再利用若點P在對稱軸左側(cè)（如圖②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可．

試題解析：（1）將A（﹣3，0）、B（1，0），代入得：，解得：，，∴，∴，頂點C的坐標為（﹣1，4）；

（2）假設在y軸上存在滿足條件的點D，過點C作CE⊥y軸于點E．由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠DOA=90°，∴△CED∽△DOA，∴．設D（0，c），則．變形得，解之得，．綜合上述：在y軸上存在點D（0，3）或（0，1），使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形；

（3）①若點P在對稱軸右側(cè)（如圖①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．延長CP交x軸于M，∴AM=CM，∴．設M（m，0），則，∴m=2，即M（2，0）．設直線CM的解析式為，則：，解得：，．∴直線CM的解析式為：．聯(lián)立，解得：或（舍去）．∴P（，）．

②若點P在對稱軸左側(cè)（如圖②），只能是△PCQ∽△AHC，得∠PCQ=∠ACH．過A作CA的垂線交PC于點F，作FN⊥x軸于點N．由△CFA∽△CAH得，由△FNA∽△AHC得．∴AN=2，F(xiàn)N=1，CH=4，HO=1，則AH=2，∴點F坐標為（﹣5，1）．設直線CF的解析式為，則，解得：，．∴直線CF的解析式為：．聯(lián)立：，解得：或（舍去）．∴P（，）．

∴滿足條件的點P坐標為（，）或（，）．

考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．壓軸題．