Question

如圖，?ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)A作AG∥DB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：DE∥BF；
（2）若BG=6，AG=8，AB=10，求證：四邊形DEBF是菱形．

Answer 1

分析：（1）由?ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，易證得AB∥CD，BE=DF，則可得四邊形DEBF是平行四邊形，則可得DE∥BF；
（2）由AG∥DB，易得四邊形AGBD是平行四邊形，由BG=6，AG=8，AB=10，可得∠G=90°，則可得∠ADB=90°，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得DE=BE，即可得四邊形DEBF是菱形．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，
∵E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，
∴DF=

1

2

CD，BE=

1

2

AB，
∴DF=BE，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴DE∥BF；

（2）∵BG=6，AG=8，AB=10，
∴BG²+AG²=AB²，
∴∠G=90°，
∵AG∥DB，AD∥BC，
∴四邊形AGBD是平行四邊形，
∴∠ADB=∠G=90°，
∵E為邊AB的中點(diǎn)，
∴DE=BE=

1

2

AB，
∴?DEBF是菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．