Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點M，過點B作BE∥CD，交AC的延長線于點E，連結(jié)BC．
（1）求證：BE為⊙O的切線；
（2）如果CD=6，BM：CM=1：2，求⊙O的直徑．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）由BE∥CD，AB⊥CD，可證AB⊥BE，從而可證BE為⊙O的切線；
（2）由垂徑定理知：CM=

1

2

CD，在Rt△BCM中，已知tan∠BCD和CM的值，可將BM，CM的值求出，由

BC

=

BD

，可知：∠BAC=∠BCD，在Rt△ACM中，根據(jù)三角函數(shù)可將AM的值求出，故⊙O的直徑為AB=AM+BM．

解答：解：（1）證明：∵BE∥CD，AB⊥CD，
∴AB⊥BE．
∵AB是⊙O的直徑，
∴BE為⊙O的切線．
（2）解：∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴CM=

1

2

CD，

BC

=

BD

，CM=

1

2

CD=3，
∴∠BAC=∠BCD．
∵BM：CM=1：2，
∴BM=

3

2

，
∵CM：AM=1：2．
∴AM=6．
∴AB=AM+BM=7.5．

點評：此題考查了切線的判定，垂徑定理，銳角三角函數(shù)定義，以及圓周角定理，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．