Question

求證：對任何整數(shù)x和y，下式的值都不會等于33．
x⁵+3x⁴y-5x³y²-15x²y³+4xy⁴+12y⁵．

Answer 1

解：
原式=（x⁵+3x⁴y）-（5x³y²+15x²y^3）+（4xy⁴+12y⁵）
=x⁴（x+3y）-5x²y²（x+3y）+4y⁴（x+3y）
=（x+3y）（x⁴-5x²y²+4y⁴）
=（x+3y）（x²-4y²）（x²-y²）
=（x+3y）（x-2y）（x+2y）（x+y）（x-y）
當(dāng)y=0時，原式=x⁵≠33；
當(dāng)y≠0時，x+3y、x-y、x+y、x-2y、x+2y互不相同，而33不可能分解為3個以上不同因數(shù)的積
∴x⁵+3x⁴y-5x³y²-15x²y³+4xy⁴+12y⁵的值不會等于33．
分析：33不可能分解為四個以上不同因數(shù)的積，于是將問題轉(zhuǎn)化為只需證明原式可分解為四個以上因式的乘積即可．對x⁵+3x⁴y-5x³y²-15x²y³+4xy⁴+12y⁵進(jìn)行因式分解，先提取公因式（x+3y），再利用十字相差法，平方差公式逐步進(jìn)行分解，最后得到最簡分式．問題得以解決．
點評：本題考查的是提取公因式法、平方差公式因式分解．解決本題的關(guān)鍵是將x⁵+3x⁴y-5x³y²-15x²y³+4xy⁴+12y⁵分解為四個以上不同因數(shù)的積．