Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：
①abc＞0；②方程x²+bx+c=0的兩根之和大于0；③y隨x的增大而增大；④a-b+c＜0，
其中正確的個(gè)數(shù)（　　）

• A、4個(gè)
• B、3個(gè)
• C、2個(gè)
• D、1個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：由拋物線開口方向得a＜0，由拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)得到-

b

2a

＞0，則b＞0，由拋物線與x軸的交點(diǎn)在x軸上方得c＞0，所以abc＜0，于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到方程x²+bx+c=0的兩根之和等于-

b

a

，利用ab＜0可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和（-1，0）之間，則x=-1時(shí)，y＜0，即a-b+c＜0，于是可對(duì)④進(jìn)行判斷．

解答：解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，
∴x=-

b

2a

＞0，
∴b＞0，
∵拋物線與x軸的交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①錯(cuò)誤；
∵方程x²+bx+c=0的兩根之和等于-

b

a

，
而ab＜0，
∴程x²+bx+c=0的兩根之和大于0，所以②正確；
∵當(dāng)x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大，所以③錯(cuò)誤；
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，
而對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和（-1，0）之間，
∴x=-1時(shí)，y＜0，即a-b+c＜0，所以④正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置，當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)． 拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定，△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．