Question

18．如圖，一塊直角三角板ABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，∠B=30°，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-8，0）．
（1）求點(diǎn)A、C所在直線的解析式；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）在直線AC上是否存在點(diǎn)D，使以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，不必說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線AC的解析式為y=kx+b，由A、C點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，由∠BCD與∠ACO互余以及∠ACO與∠OAC互余可知∠BCD=∠OAC；在Rt△AOC中由已知的邊長(zhǎng)可以求出AC的長(zhǎng)度即∠OAC的正弦和余弦值；在Rt△BCA中由∠ABC=30°和AC的長(zhǎng)度可得出BC以及AB的長(zhǎng)度；在Rt△BDC中，由BC的長(zhǎng)度以及∠BCD的正弦余弦值可得出CD、BD的長(zhǎng)度，從而能得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）假設(shè)存在，由點(diǎn)D在直線AC上可設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，$\frac{3}{4}$m+6），由兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)列出關(guān)于m的一元二次方程，解方程可以得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)A、C所在直線的解析式為y=kx+b，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），C點(diǎn)坐標(biāo)為（-8，0），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{6=b}\\{0=-8k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$．
故點(diǎn)A、C所在直線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+6．
（2）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖所示．

∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），C點(diǎn)坐標(biāo)為（-8，0），
∴OA=6，OC=8，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=10．
又∵∠ABC=30°，∠ACB=90°，
∴AB=$\frac{AC}{sin∠ABC}$=20，BC=$\frac{AC}{tan∠ABC}$=10$\sqrt{3}$．
∵∠BCD+∠BCA+∠ACO=180°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC．
在Rt△AOC中，OA=6，OC=8，AC=10，∠AOC=90°，
∴sin∠OAC=$\frac{OC}{AC}$=$\frac{4}{5}$，cos∠OAC=$\frac{OA}{AC}$=$\frac{3}{5}$．
在Rt△BDC中，BC=10$\sqrt{3}$，
∴BD=BC•sin∠BCD=8$\sqrt{3}$，CD=BC•cos∠BCD=6$\sqrt{3}$，
OD=OC+CD=8+6$\sqrt{3}$．
故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-8-6$\sqrt{3}$，8$\sqrt{3}$）．
（3）假設(shè)存在，
∵點(diǎn)D在直線AC上，
∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，$\frac{3}{4}$m+6）．
∵點(diǎn)A（0，6），點(diǎn)B（-8-6$\sqrt{3}$，8$\sqrt{3}$），
∴由兩點(diǎn)間的距離公式可知：AB=20，AD=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{3}{4}m）^{2}}$，BD=$\sqrt{（m+8+6\sqrt{3}）^{2}+（\frac{3}{4}m+6-8\sqrt{3}）^{2}}$．
以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形有三種情況：
①AB=AD，即20=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{3}{4}m）^{2}}$，
解得：m=±16，
此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（16，18）或（-16，-6）；
②AB=BD，即20=$\sqrt{（m+8+6\sqrt{3}）^{2}+（\frac{3}{4}m+6-8\sqrt{3}）^{2}}$，
解得：m=-16，或m=0（舍去），
此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-16，-6）；
③AD=BD，即$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{3}{4}m）^{2}}$=$\sqrt{（m+8+6\sqrt{3}）^{2}+（\frac{3}{4}m+6-8\sqrt{3}）^{2}}$，
解得：m=-16，
此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-16，-6）．
綜上所述：在直線AC上存在點(diǎn)D，使以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（16，18）或（-16，-6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點(diǎn)間的距離公式、等腰三角形的性質(zhì)以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求解析式；（2）通過(guò)解直角三角形得出結(jié)論；（3）由兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出關(guān)于m的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，（1）沒(méi)有難度；（2）需要借助三角函數(shù)值解直角三角形，也可以找相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出比例關(guān)系；（3）設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式去列方程，其實(shí)在解決（3）時(shí)由∠BAC=60°可知等腰三角形其實(shí)為等邊三角形．