Question

如圖，過點B（2，0）的直線l：交y軸于點A，與反比例函數(shù)y=的圖象交于點C（3，n）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）將△OBC繞點O逆時針方向旋轉α角（α為銳角），得到△OB′C′．當OC′⊥AB時，求點C運動的路徑長．

Answer 1

解：（1）∵點B（2，0）在直線l：上，
∴2k+2=0，
∴k=-，
直線l的解析式為：y=-x+2，
∵點C（3，n）在直線y=-x+2上，
∴-×3+2=n，
n=-，
∴C點坐標是（3，-），
∵C（3，-）在反比例函數(shù)y=的圖象上，
∴m=-3，
∴反比例函數(shù)的解析式是：y=-；

（2）過C點作CE⊥x軸于E，如圖，
∵C點坐標是（3，-），
∴OC==2，
∵點A是直線y=-x+2與y軸交點，
∴AO=2，
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠OAC，
又∵OB=2，
∴AB==4，
∴∠OAB=30°，
∴∠ACO=30°，
∵OC′⊥AB，
∴∠C′OC=60°，
點C的運動路徑的長度==．
分析：（1）利用待定系數(shù)法把B（2，0）代入直線l的解析式可以算出k的值，繼而得到直線l的解析式，再把C點坐標代入直線l的解析式可以算出C點坐標，再把C點坐標代入反比例函數(shù)y=即可得到反比例函數(shù)的解析式；
（2）首先根據(jù)題意畫出圖形，證明AO=CO，根據(jù)等邊對等角可得∠ACO=∠OAC，再利用勾股定理計算出AB的長，繼而得到∠OAC的度數(shù)，也就是得到了∠ACO的度數(shù)，再由條件OC′⊥AB計算出∠C′OC的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式計算出點C運動的路徑長．
點評：此題主要考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)關系式，以及旋轉和弧長公式，關鍵是掌握凡是圖象經過的點都能滿足解析式，求出∠C′OC的度數(shù)是解決第二問的關鍵．