Question

在線段AB上,先在A點標注0,在B點標注2002,這稱為第一次操作; 然后在AB的中點C處標注=1001,稱為第二次操作;又分別在得到的線段AC、BC的中點D、E處標注對應線段兩端所標注的數(shù)字和的一半,即與,稱為第三次操作;照此下去,那么經(jīng)過11次操作之后,在線段AB上所有標注的數(shù)字的和是多少?

Answer 1

設第n次操作后,線段AB上所標注的數(shù)字和是a_n ,那么第n+1次操作后,使得除A、B兩點外,其他的數(shù)字都再加上一次(兩邊各加上一半),而A、B兩點的數(shù)字, 則再加上它們的一半,即

  

    又因為 a₁=2002+0=2002

    所以 a₂=2a₁-1001=3003

所以 a₁₁=2a₁₀-1001=2(2a₉-1001)-1001=2²·a₉-(2+1)·1001=…

=2¹⁰·a₁-(2⁹+2⁸+2⁷+…+2+1)·1001

      =1024.2002-(1024-1).1001

      =1026025.

    答:經(jīng)過11次操作后,在線段AB上標注的所有數(shù)字的和為1026025.