Question

2．如圖，已知矩形OABC，點(diǎn)A，C分別在x，y軸上，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（12，0），D（6，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C（0，8）．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線DB方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），射線DB交拋物線于E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連結(jié)AP，是否存在這樣的時(shí)刻t，使得∠PAB=∠ADB？若存在請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）連結(jié)CP和AE，若∠PCB＜∠AED，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，得到關(guān)于a，b，c的方程組，求出a，b，c的值即可；
（2）利用坐標(biāo)與圖形性質(zhì)得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，AD與AB的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出DB的長(zhǎng)，然后證明△DPA∽△DAB，進(jìn)而求出DP的長(zhǎng)即可；
（3）先利用待定系數(shù)法求出DE所在直線的解析式，然后聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式求出DE的坐標(biāo)，得出有關(guān)線段的長(zhǎng)，然后分點(diǎn)P在線段BD上和點(diǎn)P在點(diǎn)B上方兩種情況，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求出BP的長(zhǎng)即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（12，0），D（6，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C（0，8），
∴$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b+c=0}\\{144a+12b+c=0}\\{c=8}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{9}$，b=-2，c=8，
所以拋物線解析式為y=$\frac{1}{9}{x}^{2}$-2x+8；

（2）∵A（12，0），D（6，0），C（0，8），四邊形ABCD為矩形，
∴B（12，8），AD=6，AB=8，DB=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=10，
如圖1，當(dāng)∠PAB=∠ADB時(shí)，
∵∠PAB+∠DAP=90°，
∴∠ADB+∠DAP=90°，
∴∠DPA=90°，
∵∠DPA=∠DAB=90°，∠PDA=∠ADB，
∴△DPA∽△DAB，
∴DP：DA=DA：DB，即DP：6=6：10，
∴DP=3.6，
3.6÷1=3.6（秒），
∴當(dāng)t=3.6秒時(shí)，使得∠PAB=∠ADB；
（3）設(shè)BE所在直線的解析式為y=kx+m，由BE過(guò)點(diǎn)B（12，8）和D（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{12k+m=8}\\{6k+m=0}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{4}{3}$，m=-8，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{9}{x}^{2}-2x+8}\\{y=\frac{4}{3}x-8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=24}\\{y=24}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（24，24），
∵D（6，0），E（24，24），
∴DE=$\sqrt{（24-6）^{2}+（24-0）^{2}}$=30，
當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上，且∠PCB=∠AED時(shí)，如圖2，
∵BC∥AD，
∴∠CBP=∠EDA，
∴△CBP∽△EDA，
∴CB：BP=ED：DA，即12：BP=30：6，
解得BP=2.4，
∴DP=BD-BP=7.6=$\frac{38}{5}$；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的上方，且∠PCB=∠AED時(shí)，
如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD于F，
由（1）知DF=3.6，則EF=DE-DF=26.4，AF=$\sqrt{A{D}^{2}-D{F}^{2}}$=4.8，
過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線與M，
∵∠M=∠DAB=90°，∠PBM=∠CBD=∠BDA，
∴△PBM∽△BDA，
∴PM：BM=BA：DA=4：3，
設(shè)PM=4k，BM=3k，則BP=5k，
∵∠PCB=∠AED，∠M=∠EFA，
∴△PCM∽△AEF，
∴PM：CM=AF：EF，即4k：（12+3k）=4.8：26.4，
解得k=$\frac{12}{19}$，
∴BP=5k=$\frac{60}{19}$，DP=DB+BP=$\frac{250}{19}$，
∴若∠PCB＜∠AED，t的取值范圍為$\frac{38}{5}$＜t＜$\frac{250}{19}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)涉及了一次函數(shù)解析式的求法，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，具有一定的綜合性和難度，解題時(shí)要數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．