Question

（2012•本溪二模）如圖，在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O與AC交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，交AB的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）當(dāng)cosE=

4

5

，BF=6時(shí)，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（1）連接BD、OD，根據(jù)AB為直徑得出∠ADB=90°，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AD=CD，根據(jù)三角形的中位線推出OD∥BC，推出OD⊥DE，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）根據(jù)已知求出EF、BE，根據(jù)平行線推出△EFB∽△EDO，推出比例式

BF

OD

=

BE

OE

，設(shè)半徑為x，代入求出x即可．

解答：（1）證明：連接BD、OD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=BC，
∴AD=DC，
∵AO=OB，
∴OD∥BC，
∵DF⊥BC，
∴DF⊥OD，
又∵點(diǎn)D在⊙O上，
∴直線DE是⊙O的切線；

（2）解：∵DF⊥BC，cosE=

4

5

，BF=6，
∴可得EF=8，BE=10，
∵OD∥BC，
∴△EFB∽△EDO，
∴

BF

OD

=

BE

OE

，
設(shè)半徑為x，則

6

x

=

10

10+x

，
解得：x=15，
∴⊙O直徑為30．

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線，切線的判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，解（1）小題關(guān)鍵是求出OD⊥DE，解（2）小題的關(guān)鍵是得出關(guān)于x的方程，用了方程思想．