Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=

3

．
（1）在邊CD上找一點E，使EB平分∠AEC，并加以說明；
（2）若P為BC邊上一點，且BP=2CP，連接EP并延長交AB的延長線于F．
①求線段BF的長度；
②△PAE能否由△PFB繞P點按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到？若能，加以證明，并求出旋轉(zhuǎn)度數(shù)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先在CD上截取點E，使AE=AB，得到∠AEB=∠ABE，再根據(jù)AB∥CD，得出∠ABE=∠BEC，即可證出EB平分∠AEC；
（2）①根據(jù)CE∥BF，得出

CP

BP

=

CE

BF

，再根據(jù)BC=2，即可求出BF的長；
②根據(jù)

CP

BP

和BC的值，得出PC和PB的長，根據(jù)勾股定理得出EP的長，在Rt△BPF中，求出tan∠BPF=

3

，得出∠BPF=60°，即可證出△PBF≌△PEA和∠APF的度數(shù)．

解答：解：（1）在CD上截取點E，使AE=AB，
則∠AEB=∠ABE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC，
∴∠AEB=∠BEC，
∴EB平分∠AEC；
（2）①∵CE∥BF，
∴

CP

BP

=

CE

BF

=

1

2

，
在Rt△ADE中，
DE=

AE2- AD2

=

22-( 3 )2

=1，
∴CE=1，
∴BF=2；
②能；
∵

CP

BP

=

1

2

，BC=

3

，
∴PC=

3

3

，PB=

2 3

3

，
∴EP=

PC2+EC2

=

2 3

3

，
∴BP=EP，
∵PB⊥AF，AB=BF，
∴PA=PF，
在Rt△BPF中，
∵tan∠BPF=

BF

BP

=

2

2 3 3

=

3

，
∴∠BPF=60°，
∴∠BPA=∠APE=60°，
∴△PBF≌△PEA，∠APF=120°，
∴△PAE能由△PFB繞P點按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)120°．

點評：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，用到的知識點是勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、角平分線的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是證出△PBF≌△PEA，難度適中．