Question

如圖，直線y＝－x＋6與x軸交于點A，與y軸交于點B，以線段AB為直徑作⊙C，拋物線y＝ax²＋bx＋c過A、C、O三點．

(1)求點C的坐標和拋物線的解析式；

(2)過點B作直線與x軸交于點D，且OB²＝OA·OD，求證：DB是⊙C的切線；

(3)拋物線上是否存在一點P，使以P、O、C、A為頂點的四邊形為直角梯形，如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)A(6，0)，B(0，6)　　1分 　　連結(jié)OC，由于∠AOB＝90°，C為AB的中點，則， 　　所以點O在⊙C上(沒有說明不扣分)． 　　過C點作CE⊥OA，垂足為E，則E為OA中點，故點C的橫坐標為3． 　　又點C在直線y＝－x＋6上，故C(3，3)　　2分 　　拋物線過點O，所以c＝0， 　　又拋物線過點A、C，所以，解得： 　　所以拋物線解析式為　　3分 　　(2)OA＝OB＝6代入OB2＝OA·OD，得OD＝6　　4分 　　所以OD＝OB＝OA，∠DBA＝90°．5分 　　又點B在圓上，故DB為⊙C的切線　　6分(通過證相似三角形得出亦可) 　　(3)假設(shè)存在點P滿足題意．因C為AB中點，O在圓上，故∠OCA＝90°，要使以P、O、C、A為頂點的四邊形為直角梯形， 　　則∠CAP＝90°或∠COP＝90°，7分 　　若∠CAP＝90°，則OC∥AP，因OC的方程為y＝x，設(shè)AP方程為y＝x＋B． 　　又AP過點A(6，0)，則b＝－6，8分 　　方程y＝x－6與聯(lián)立解得：，， 　　故點P1坐標為(－3，－9)　　9分 　　若∠COP＝90°，則OP∥AC，同理可求得點P2(9，－9)(用拋物線的對稱性求出亦可) 　　故存在點P1坐標為(－3，－9)和P2(9，－9)滿足題意．10分