Question

18．已知a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，求下列各式的值：
（1）a+a^-1：
（2）a²+a^-2；
（3）a${\;}^{\frac{3}{2}}$+a${\;}^{-\frac{3}{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，等號(hào)兩邊同時(shí)平方，可以求得答案；
（2）根據(jù)第一問的答案，兩邊平方可以求得問題的答案；
（3）根據(jù)立方和公式和題意、第一問的答案，可以求得此小題的答案．

解答 解：（1）∵a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，
∴$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}=9$
即a+a^-1+2=9
得a+a^-1=7；
（2）∵a+a^-1=7
∴（a+a^-1）²=49
即a²+a^-2+2=49
得a²+a^-2=47；
（3）∵${a}^{\frac{3}{2}}+{a}^{-\frac{3}{2}}$=$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）（a-1+{a}^{-1}）$，a+a^-1=7，a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，
∴$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）（a-1+{a}^{-1}）$=3×（7-1）=3×6=18，
即a${\;}^{\frac{3}{2}}$+a${\;}^{-\frac{3}{2}}$=18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是靈活變化使得所求問題與已知建立關(guān)系．