Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（2，0）、C（0，2）三點．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖，點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，若點P使四邊形ABPC的面積最大，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,二次函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）將所給的三點坐標(biāo)代入拋物線解析式，求出字母a，b，c的值，即可解決問題．
（2）通過作輔助線將四邊形ABPC分割為三個三角形，分別求出三個三角形面積的代數(shù)式，進而求出四邊形ABPC的面積關(guān)于字母m的二次函數(shù)關(guān)系式，借助函數(shù)性質(zhì)解決問題．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（2，0）、C（0，2）三點，
∴

a-b+c=0 4a+2b+c=0 c=2

，
解得：a=-1，b=1，c=2，
∴這條拋物線的解析式為y=-x²+x+2．
（2）連接PO，過點P分別作PM⊥y軸于點M，PN⊥x軸于點N；
設(shè)點P坐標(biāo)為（m，n），
則n=-m²+m+2；∵點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，
∴0＜m＜2，n＞0；
由題意得：PM=m，PN=n；
∵S△AOC=

1

2

•OA•OC=

1

2

×1×2=1，S△POC=

1

2

•OC•PM=

1

2

×2×m=m，S△POB=

1

2

•OB•PN=

1

2

×2×n=n，
∴S_{四邊形ABPC}=1+m+n=1+m-m²+m+2=-m²+2m+3，
∵二次項系數(shù)a=-1＜0，
∴當(dāng)m=-

2

2×(-1)

=1時，四邊形ABPC的面積取得最大值，
此時，n=-1+1+2=2；
∴當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時，點P坐標(biāo)為（1，2）

點評：考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、求二次函數(shù)的最值、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征等代數(shù)問題；解題的關(guān)鍵是：首先正確利用待定系數(shù)法求解析式，然后通過作輔助線將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積和，進而利用二次函數(shù)的性質(zhì)來解題．