Question

1．如圖，△ABC中，∠C=90°，BC=7cm，AC=5，點P從B點出發(fā)，沿BC方向以2m/s的速度移動，點Q從C出發(fā)，沿CA方向以1m/s的速度移動．
（1）若P、Q同時分別從B、C出發(fā)，那么幾秒后，△PCQ的面積等于4？
（2）若P、Q同時分別從B、C出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于5？
（3）△PCQ的面積何時最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）分別表示出線段CP和線段CQ的長，利用三角形的面積公式列出方程求解即可；
（2）表示出線段CP和CQ后利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）列出△PCQ的面積關于t的函數(shù)解析式，配方可得最大值．

解答 解：（1）設t秒后△PCQ的面積等于4，根據(jù)題意得：CQ=t，BP=2t，則CP=7-2t，
$\frac{1}{2}$CQ•CP=$\frac{1}{2}$×t（7-2t）=4，
整理，得：t₁=$\frac{7+\sqrt{17}}{4}$，t₂=$\frac{7-\sqrt{17}}{4}$，
故若P、Q同時分別從B、C出發(fā)，那么$\frac{7+\sqrt{17}}{4}$、$\frac{7-\sqrt{17}}{4}$秒后，△PCQ的面積等于4；
（2）若PQ的長度等于5，則PC²+QC²=PQ²，
即：（7-2t）²+t²=25，
整理，得：5t²-28t+24=0，
解得：t₁=$\frac{14+2\sqrt{19}}{5}$，t₂=$\frac{14-2\sqrt{19}}{5}$，
∵CP=7-2t≥0，即t≤3.5，
∴t=$\frac{14+2\sqrt{19}}{5}$＞3.5，舍去，
故那么$\frac{14-2\sqrt{19}}{5}$秒后，PQ的長度等于5；
（3）由（1）知△PCQ的面積S=$\frac{1}{2}$×t（7-2t）=-（t-$\frac{7}{4}$）²+$\frac{49}{16}$，
當t=$\frac{7}{4}$時，S取得最大值，最大值為$\frac{49}{16}$，
故當t=$\frac{7}{4}$時△PCQ的面積最大，最大面積為$\frac{49}{16}$．

點評 本題主要考查一元二次方程的應用及二次函數(shù)最值的求法，表示出所涉及的線段是前提，根據(jù)面積和勾股定理列出方程、函數(shù)表達式是關鍵．