Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2正方形OBCD的頂點(diǎn)B在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上，半徑為1的⊙E的圓心E在雙曲線y=

1

x

（x＞0）上移動(dòng)，當(dāng)⊙E與正方形OBCD的邊相切時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,正方形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：分類討論：當(dāng)⊙E與OD相切，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得E點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為1，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可確定E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），由于正方形OBCD的邊長(zhǎng)為2，此時(shí)⊙E與正方形各邊都相切；當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到E′處，⊙E′與BC相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得E′點(diǎn)到BC的距離為1，則E′點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易得E′點(diǎn)坐標(biāo)為（3，

1

3

）；同樣可得E″點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

3

，3）．

解答：解：當(dāng)⊙E與OD相切，如圖，則E點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為1，所以E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
而當(dāng)x=1時(shí)，y=

1

x

=1，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
因?yàn)檎�方形OBCD的邊長(zhǎng)為2，
所以此時(shí)⊙E與正方形各邊都相切；
當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到E′處，⊙E′與BC相切，則E′點(diǎn)到BC的距離為1，所以E′點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
而當(dāng)x=3時(shí)，y=

1

x

=

1

3

，E′點(diǎn)坐標(biāo)為（3，

1

3

）；
當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到E″處，⊙E″與CD相切，則E″點(diǎn)到DC的距離為1，所以E″點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，
而當(dāng)y=3時(shí)，

1

x

=3，解得x=

1

3

，E″點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

3

，3）．
綜上所述，滿足條件的E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）、（3，

1

3

）、（

1

3

，3）．
故答案為（1，1）、（3，

1

3

）、（

1

3

，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了正方形的性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．