Question

4．定義：如果一條拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“特征軸三角形”．顯然，“特征軸三角形”是等腰三角形．
（1）拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-2對(duì)應(yīng)的“特征軸三角形”是④；拋物線y=x²-2$\sqrt{3}$x對(duì)應(yīng)的“特征軸三角形”是②．（把下列較恰當(dāng)結(jié)論的序號(hào)填在橫線上：①腰與底邊不相等的等腰三角形；②等邊三角形；③非等腰的直角三角形；④等腰直角三角形．）
（2）若拋物線y=ax²+2ax-3a對(duì)應(yīng)的“特征軸三角形”是直角三角形，則a的值為±$\frac{1}{2}$．
（3）如圖，面積為12$\sqrt{3}$的矩形ABCO的對(duì)角線OB在x軸的正半軸上，AC與OB相交于點(diǎn)E，若△ABE是拋物線y=ax²+bx+c的“特征軸三角形”，求此拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）先確定出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出AD，BD，即可判斷出拋物線的“特征軸三角形”；
（2）根據(jù)拋物線的“特征軸三角形”是直角三角形建立方程求解即可；
（3）先判斷出△ABE是等邊三角形，即可求出AH，BE，EH，最后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式．

解答 解：（1）設(shè)拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A，B，頂點(diǎn)為D，
∴A（-2，0），B（2，0），D（0，-2），
∴AD=BD=2$\sqrt{2}$，AD²+BD²=8+8=4²=AB²，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-2對(duì)應(yīng)的“特征軸三角形”是等腰直角三角形，
設(shè)拋物線y=x²-2$\sqrt{3}$x與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A，B，頂點(diǎn)為D，
∴A（0，0），B（2$\sqrt{3}$，0），D（$\sqrt{3}$，-3），
∴AD=BD=2$\sqrt{3}$，AB=2$\sqrt{3}$，
∴AB=AD=BD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴拋物線y=x²-2$\sqrt{3}$x對(duì)應(yīng)的“特征軸三角形”是等邊三角形，
故答案為：④，②；
（2）設(shè)拋物線y=ax²+2ax-3a與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A，B，頂點(diǎn)為D，
∴A（-3，0），B（1，0），D（-1，-4a），
∵拋物線y=ax²+2ax-3a對(duì)應(yīng)的“特征軸三角形”是直角三角形，
∴AB²=AD²+BD²，
∴16=4+16a²+4+16a²，
∴a=±$\frac{1}{2}$，
故答案為：±$\frac{1}{2}$
（3）如圖，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AE=CE=OE=BE，
∴S_△ABE=$\frac{1}{4}$S矩形ABCD=$\frac{1}{4}$×12$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∵△ABE是拋物線的“特征軸三角形”，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得，AE=AB，
∴AE=AB=BE，
∴△ABE是等邊三角形，
過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BE，
∴AH=ABsin∠ABE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$BE²=3$\sqrt{3}$，
∴BE=2$\sqrt{3}$，
∴AH=3，EH=$\sqrt{3}$，
∴A（3$\sqrt{3}$，3），E（2$\sqrt{3}$，0），B（4$\sqrt{3}$，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-3$\sqrt{3}$）²+3，
將點(diǎn)E（2$\sqrt{3}$，0）代入得，a=-1，
∴y=-（x-3$\sqrt{3}$）²+3=-x²+6$\sqrt{3}$x-24．
∴過(guò)點(diǎn)A，B，E三點(diǎn)的拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+6$\sqrt{3}$x-24．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線的“特征軸三角形”的特點(diǎn)，待定系數(shù)法，直角三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是判斷出△ABE是等邊三角形．