Question

在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=2，以AB為邊作正方形ABDE，連接AD、BE交O，CO=3

2

，則AC的長為（　�。�

• A．2
• B．3
• C．4
• D．3

  2

Answer 1

分析：延長CB過點D作CB延長線的垂線，交點為F，過點O作OM⊥CF，先證明RT△ACB≌RT△BFD，然后分別表示出OM、CM的長度，在RT△OCM中利用勾股定理可得出答案．

解答：
解：延長CB過點D作CB延長線的垂線，交點為F，過點O作OM⊥CF，
則可得OM是梯形ACFD的中位線，
∵∠ABC+∠FBD=∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠FBD，
在RT△ACB和RT△BFD中，
∵

AB=BD ∠CAB=∠FBD ∠ACB=∠BFD

，
∴RT△ACB≌RT△BFD，
∴AC=BF，BC=DF，
設(shè)AC=x，則OM=

AC+DF

2

=

x+2

2

，CM=

CF

2

=

x+2

2

，
在RT△OCM中，OM²+CM²=OC²，即2（

x+2

2

）²=18，
解得：x=4，即AC的長度為4．
故選C．

點評：此題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、梯形的中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，難度較大．