Question

（10分）已知關(guān)于x的方程x2﹣（m＋2）x＋（2m﹣1）＝0．

（1）求證：方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若此方程的一個(gè)根是1，請(qǐng)求出方程的另一個(gè)根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長．

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）或

【解析】

試題分析：（1）一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是，當(dāng)△＞0時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根.證方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即要證明方程的△＞0；

（2）將x＝1代入到原方程中，即可得到m的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得到方程的另一個(gè)根，以這兩個(gè)根為直角三角形的邊長的三角形有兩種情況，需要分類討論：①兩邊都是直角邊時(shí)，②大邊是斜邊，小邊是直角邊時(shí).

試題解析：（1）證明：∵△＝（m＋2）2－4（2m－1）＝（m－2）2＋4，

∴在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，m無論取何值，（m－2）2＋4＞0，即△＞0，

∴關(guān)于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）＝0恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）【解析】
根據(jù)題意，得

12－1×（m＋2）＋（2m－1）＝0，

解得，m＝2，

則方程的另一根為：m＋2－1＝2＋1＝3；

①當(dāng)該直角三角形的兩直角邊是1、3時(shí)，由勾股定理得斜邊的長度為：；

該直角三角形的周長為1＋3＋＝4＋；

②當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時(shí)，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為；則該直角三角形的周長為1＋3＋＝4＋．.

考點(diǎn)：解一元二次方程；一元二次的根的判別式；勾股定理；分類思想.