Question

5．已知AB為⊙O的直徑，OC⊥AB，弦DC與OB交于點(diǎn)F，在直線AB上有一點(diǎn)E，連接ED，且有ED=EF．
（Ⅰ）如圖1，求證ED為⊙O的切線；
（Ⅱ）如圖2，直線ED與切線AG相交于G，且OF=1，⊙O的半徑為3，求AG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD，由對(duì)頂角相等可得出∠EDF=∠CFO；由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF，結(jié)合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°，即∠EDO=90°，由此證出ED為⊙O的切線；
（2）連接OD，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BA于點(diǎn)M，結(jié)合（1）的結(jié)論根據(jù)勾股定理可求出ED、EO的長(zhǎng)度，結(jié)合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的長(zhǎng)度，根據(jù)切線的性質(zhì)可知GA⊥EA，從而得出DM∥GA，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出GA的長(zhǎng)度．

解答 （1）證明：連接OD，如圖1所示．

∵ED=EF，
∴∠EDF=∠EFD，
∵∠EFD=∠CFO，
∴∠EDF=∠CFO．
∵OD=OC，
∴∠ODF=∠OCF．
∵OC⊥AB，
∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°，
∴ED為⊙O的切線．
（2）解：連接OD，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BA于點(diǎn)M，如圖2所示．

由（1）可知△EDO為直角三角形，設(shè)ED=EF=a，EO=EF+FO=a+1，
由勾股定理得：EO²=ED²+DO²，即（a+1）²=a²+3²，
解得：a=4，即ED=4，EO=5．
∵sin∠EOD=$\frac{ED}{EO}$=$\frac{4}{5}$，cos∠EOD=$\frac{OD}{EO}$=$\frac{3}{5}$，
∴DM=OD•sin∠EOD=3×$\frac{4}{5}$=$\frac{12}{5}$，MO=OD•cos∠EOD=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$，
∴EM=EO-MO=5-$\frac{9}{5}$=$\frac{16}{5}$，EA=EO+OA=5+3=8．
∵GA切⊙O于點(diǎn)A，
∴GA⊥EA，
∴DM∥GA，
∴△EDM∽△EGA，
∴$\frac{GA}{DM}=\frac{EA}{EM}$，
∴GA=$\frac{EA•DM}{EM}$=$\frac{8×\frac{12}{5}}{\frac{16}{5}}$=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、角的三角函數(shù)值、相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）通過(guò)等腰三角形的性質(zhì)找出∠EDO=90°；（2）通過(guò)相似三角形的性質(zhì)找出相似比．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)角的計(jì)算找出直角，從而證出切線．