Question

如圖，拋物線y=x²-x-與x軸交于A、B兩點(diǎn)，D為y軸上一點(diǎn)，E為拋物線上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)D和E，使以A、D、B、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出D、E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：∵y=x²-x-，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x²-x-=0，
解得x=-1或3，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），
AB=3-（-1）=4．
假設(shè)存在這樣的點(diǎn)D和E，能夠使以A、D、B、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．分兩種情況：
①當(dāng)AB為平行四邊形的邊時(shí)，則DE=AB=4．
∵D為y軸上一點(diǎn)，D點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，
∴E點(diǎn)橫坐標(biāo)為：0+4=4或0-4=-4，
∴E₁（4，），E₂（-4，），
∴D₁（0，），D₂（0，）；
②當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∵D為y軸上一點(diǎn)，D點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，
∴E點(diǎn)橫坐標(biāo)為：2，
∴E₃（2，-），
∵平行四邊形的對(duì)角線互相平分，
∴點(diǎn)D₃的坐標(biāo)為（0，），
綜上可知，存在這樣的點(diǎn)D和E，能夠使以A、D、B、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，此時(shí)D₁（0，），D₂（0，），D₃（0，），E₁（4，），E₂（-4，），E₃（2，-）．
分析：先由拋物線的解析式，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)D和E，能夠使以A、D、B、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，再分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)AB為平行四邊形的邊時(shí)，由DE=AB=4，可求得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，代入y=x²-x-，進(jìn)而求得點(diǎn)D、E的坐標(biāo)；②當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，先由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，代入y=x²-x-，進(jìn)而求得點(diǎn)D、E的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，難度適中，運(yùn)用分類討論與數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．